Материал: Основные законы механики в примерах и задачах. методические указания по дисциплине «Физика» для студентов всех технических направлений. Евсюков В.А., Агапитова Н.В

2.3. Тело массы m начинает двигаться под действием силы . Найти мощность P(t), развиваемую силой в момент времени t.

Решение. Мощность P силы вычислим по формуле P = , где — скорость поступательного движения тела. В рассматриваемом случае . Отсюда ускорение и скорость тела: . Начальные условия: при t = 0 величины F, и равны нулю. Мощность силы .

2.4. Небольшое тело начинает скользить без трения с вершины сферы радиуса R вниз. На какой высоте h над центром сферы тело отделится от поверхности сферы и полетит свободно?

Р ешение. На рисунке изображены сила тяжести тела и сила нормальной реакции . Трения скольжения нет. Центростремительная сила, действующая на тело, равна . При отрыве тела от поверхности сферы N = 0 и Как известно, , где Т — кинетическая энергия. На основании закона сохранения механической энергии тела в потенциальном поле сил тяжести Т = mg(R — h). Таким образом получаем соотношение (*). Если учесть, что то из (*) найдем: h = 2(R — h) =>h = (2/3)R.

2.5. Потенциальная энергия частицы имеет вид: ), где — константа. Найти:

а) силу F, действующую на частицу,

б) работу А, совершаемую над частицей силами поля при переходе частицы из точки (1, 1, 1) в точку (2, 2, 3)

Решение. Имеется связь между силой и потенциальной энергией частицы в силовом поле, а именно

В декартовых координатах

В рассматриваемом случае .

Поэтому { {

Работа, совершаемая силами поля при перемещении частицы из точки , равна { { .

2.6. На столе лежит доска массы = 1 кг, а на доске – груз массы m = 2 кг. Какую силу нужно приложить к доске, чтобы доска выскользнула из-под груза? Коэффициент трения между грузом и доской 1 = 0,25 , а между доской и столом 2 = 0,5.

Р ешение. Механическая система с указанием действующих на нее сил показана на рисунке. Уравнение движения доски:

И уравнение движения груза: ,где - сила трения между грузом и доской, – ускорение.

Максимальное значение ; следовательно, максимальное ускорение груза 0,25 , и максимальная сила , при которой еще будет происходить движение груза и доски как целого, должна сообщать доске и грузу ускорение . А для этого, согласно уравнению (1), сила должна быть равна

Для m=2кг, =1кг сила =22,5H.

2.7. Определить расстояние центра масс полуокружности радиуса от стягивающего её диаметра.

Решение. Ясно, что центр масс данного полукольца находится на оси (см.рис.). Ордината выделенного углом элемента полукольца равна , масса этого элемента . Ордината центра масс полукольца равна

Итак, координаты центра масс:

2 .8. Тонкий стержень длиной шарнирно закреплен в точке, отстоящей на расстояние «b» от одного из его концов, и вращается с угловой скоростью вокруг вертикальной оси, описывая круговой конус (см. рис.). Определить угол отклонения стержня от вертикали.

Решение. В системе координат, вращающейся вокруг вертикальной оси с угловой скоростью , условие равновесия стержня можно записать в виде , где – момент центробежной силы и – момент силы тяжести относительно точки закрепления стержня (шарнира О). Центробежная сила инерции, действующая на элемент стержня , находящийся на расстоянии от точки закрепления, будет равна , а соответствующий момент этой силы можно записать в виде .

При этом полный момент центробежной силы инерции равен

Приравнивая эту величину моменту силы тяжести , получим:

2.9. На небольшое тело массы m, лежащее на гладкой горизонтальной плоскости, в момент = 0 начала действовать сила, зависящая от времени по закону , где - постоянная. Направление этой силы все время составляет угол α с горизонтом. Найти:

а) скорость тела в момент отрыва от плоскости;

б) путь, пройденный телом к этому моменту.

Р ешение.

До некоторого момента времени тело движется горизонтально с ускорением , при этом и , т.е. . В момент отрыва и .

а) Скорость тела в момент времени равна

б) Путь за время равен .

2 .10. Шарик массы m подвешен на идеальной пружине жесткости k и начальной длины l над центром платформы центробежной машины. Затем шарик начинает вращаться вместе с машиной с угловой скоростью ω. Какой угол α образует при этом пружина с вертикалью?

Решение. Данную механическую систему ещё до вращения можно рассматривать как колебательную с двумя степенями свободы, характеризующуюся двумя частотами = и . Вопросы колебательных движений данной системы не так просты и мы их опустим. Будем считать, что в начальный момент времени система находилась в покое, колебания не совершались. Далее будем приводить систему во вращательное движение до заданной угловой скорости очень медленно, полагая, что колебания в системе не возникнут.

Для получения ответа на поставленный вопрос перейдем во вращающуюся систему координат, приложив к шарику еще дополнительную центробежную силу инерции. В этой системе координат в принятых условиях шарик будет находиться в состоянии покоя (равновесия).

Пусть – упругая сила натяжения пружины. По величине она равна T=k(l- ), где l – длина пружины в состоянии растяжения, – её длина в недеформированном состоянии. Центробежная сила , где r = lsinα. В состоянии равновесия имеем соотношения: T sinα = → T = ;Tcosα = mg.

Итак, имеется три уравнения: T=k(l- ), T = , Tcosα = mg. Отсюда находим cos α: k(l- ) = → l = k /(k- );T=k( ) = ; cosα = mg/T = mg* = ( ) = ( -1).Здесь 0 , т.е. .Отсюда

2 .11. Балка массы =300 кг и длины =8,00 м лежит на двух опорах (рис.) Расстояния от концов балки до опор: ₁=2,00 м, ₂=1,00 м. Найти силы ₁ и ₂, с которыми балка давит на опоры.

Решение. Балка при действии на нее сил тяжести и нормальных реакций со стороны опор находится в равновесии (покое).

В этом состоянии результирующая сила и результирующий момент сил относительно любой точки (например, центра масс) равны нулю. Поэтому можно написать: , где – плечи действия сил . Из системы этих уравнений находим: .

При этом силы давления на опоры равны: . Для m=300кг, l=8м, =2м, =1м: | |=1,76* | =1,18* .