Материал: Основные законы механики в примерах и задачах. методические указания по дисциплине «Физика» для студентов всех технических направлений. Евсюков В.А., Агапитова Н.В

.

2.20. Двухступенчатый блок радиусов и положили на гладкую горизонтальную поверхность. На ступени блока плотно намотаны нити, к концам которых приложили постоянные, взаимно перпендикулярные силы и (рис., вид сверху). Сколько оборотов совершит блок за время, в течение которого его ось С переместится на расстояние ? Масса данного блока , его момент инерции относительно оси С равен .

Решение. Результирующее движение ступенчатого блока рассматриваем как наложение поступательного движения и его вращения вокруг собственной оси С. Уравнения этих движений имеют вид, полагая, что : , где . Время перемещения блока на расстояние найдем из соотношения , F=const, =const,начальные и равны нулю: . Угловое ускорение . Угловой путь блока за время равен , а совершенное число оборотов

Подставляя сюда выражения для и , получим:

.

2.21. Сплошному однородному цилиндру массы и радиуса сообщили вращение вокруг его оси с угловой скоростью , затем его положили боковой поверхностью на горизонтальную плоскость и предоставили самому себе. Коэффициент трения равен . Найти: а) время, в течение которого движение цилиндра будет происходить со скольжением; б) полную работу силы трения скольжения.

Р ешение. На первой стадии угловая скорость вращения цилиндра ω>v/R, где v- скорость качения. Под действием тормозящего момента сил трения через некоторый промежуток времени τ угловая скоростьω(τ) = v(τ)/R. (1)

Отсюда видно, что для определения времени τ необходимо предварительно установить зависимости ω(t) и v(t) на стадии скольжения цилиндра. Из уравнений поступательного и вращательного движений цилиндра та=F_тр = kmgи mR² β= -RF_mp=-kmgRнаходим ускоренияа=kgи β=-2kg/R. 'Гак как а и β константы, то v=at=kgt(v₀=0)

и ω=ω₀+βt=ω₀ - 2kgt/R. Удовлетворяя условию (1), получим τ=ω₀R/3kg. При этом ω(τ)=ω₀/3.

Работа сил трения скольжения равна прирщению кинети­ческой энергии данного тела:

2.22. На гладкой горизонтальной поверхности лежит однородный стержень массы и длины . На один из его концов начали действовать постоянной, направленной все время вертикально вверх силой . Найти угловую скорость стержня в зависимости от угла его поворота.

Решение. В отношении положительной к стержню силы =-m необходимо принять одно из дополнительных условий: вектор силы может перемещаться в горизонтальном направлении, оставаясь параллельным самому себе или точка приложения этого вектора остается на одной и той же вертикали. Рассмотрим сначала первый вариант.

1. В этом случае центр масс стержня под действием приложенной силы получает только вертикальное перемещение (см. рисунок). Пусть в процессе движения угол поворота стержня равен φ. При этом значении угла поворота центр масс стержня поднимется на высоту h_c=(l/2)sinφ, aero скорость будет равна v_c=dh_c/ dt=(ωl/2)cosφ, где ω - угловая скорость поворота стержня в рассматриваемый момент времени. К этому моменту стержень приобретает кинетическую энергию

При этом, совершенная силой =-m работа, равна А=Flsinφ=mglsinφ. Эта работа пойдет на приращение кинетической энергии и потенциальной энергии стержня =mgh_c=(mgl/2)sinφ. Итак, имеем равенство mglsinφ=(mω²l²/8)(cos²φ+1/3)+(mgl/2)sinφ. Отсюда следует, что gsinφ(ω²/4)(cos²φ+1/3) и φ

2) Теперь рассмотрим случай, когда центр масс стержня одновременно перемещается вверх и в сторону вертикали, вдоль которой действует приложенная сила .

Обращаясь к рисунку, запишем координаты центра масс стержня: Х_с=(l-lcosφ)+(l/2)cosφ=(l/2)(2-cosφ),y_t=(l/2)sinφ. (1)

Д ифференцируя равенства (1) по времени, получим компоненты и модуль скорости центра масс стержня: v_сх=(ωl.2)sinφ, v_су=(ωl/2)cosφ, v_c= ωl/2.

Кинетическая энергия стержня для φповорота равна Т=т /2+I_cω²/2=тω²l²/6. Из энергетического соотношения А=Flsinφ=Т+mglsinφ/2 найдем угловую скорость стержня .

2.23. Волчок массы = 0,50 кг, ось которого наклонена под углом = 30° к вертикали, прецессирует под действием силы тяжести. Момент инерции волчка относительно его оси симметрии = 2,0 г*м², угловая скорость вращения вокруг этой оси = 350 1/с, расстояние от точки опоры до центра масс волчка = 10 см. Найти: а) угловую скорость прецессии волчка; б) модуль и направление горизонтальной составляющей силы реакции, действующей на волчок в точке опоры.

Р ешение. Угловая скорость прецессии волчка вокруг вертикальной оси. проходящей через неподвижную точку О(см. рис.), равна , где l=ОС, точка С - центр масс волчка. Во вращающейся системе координат с угловой скоростью ωгоризонтальная составляющая силы реакции в точке О равна центробежной силе инерции, обусловленной прецессионным вращением волчка, т.е. R=тω'2lsinθ. При числовых значениях данных величин ω’=0,7 , R=10 мН.

2.24. Волчок, масса которого = 1,0 кг и момент инерции относительно собственной оси = 4,0г*м², вращается с = 320 рад/с. Его точка опоры находится на подставке, которую перемещают в горизонтальном направлении с ускорением = 3,0 м/с². Расстояние между точкой опоры и центром масс волчка = 10 см. Найти модуль и направление вектора ' — угловой скорости прецессии волчка.

Р ешение. Относительно ускоряющейся платформы создается однородное результирующее поле сил тяжести и инерции, которому можно сопоставить ускорение, модуль которого равен . Ускорение образует с земной вертикалью угол а=arctg (см. рисунок). Ось 00, проходящая через неподвижную точку О гироскопа и параллельная вектору , будет являться ось прецессии. При этом угловая скорость прецессии гироскопа будет равна

3. Упругие деформации тел

3.1. Однородны упругий брусок движется по гладкой горизонтальной плоскости под действием постоянной силы F₀, равномерно распределенной по торцу. Площадь торца S, модуль Юнга материала E. Найти относительное сжатие бруска в направлении действия данной силы.

Р ешение. Введем две координатных оси, одна из которых ОХ связана с движущимся объектом, другая - является неподвижной (см. рис.). Выделим малый элементбруска длины .

Ускорение этого элемента как и бруска в целом равно . Со стороны сечений плоскостями x и на выделенный отрезок бруска действуют упругие силы и результирующая которых равна Уравнение движения выделенного элемента в неподвижной системе координат где Отсюда получаем: Из граничного условия имеем: и . Представляем и получаем зависимость Под относительном сжатием бруска в целом будем понимать среднее значение величины

3.2. Медный стержень длины l подвесили за один конец к потолку. Найти:

а) удлинение стержня под действием собственного веса;

б) относительное приращение его объема ∆V/V.

Решение.

Сила натяжения подвешенного стержня в каком-либо сечении x равна весу нижней его части (рис.):

.

1/c;

Угол, образуемый вектором с вертикалью, равен a=arctg =arctg =17°.