Материал: Основные законы механики в примерах и задачах. методические указания по дисциплине «Физика» для студентов всех технических направлений. Евсюков В.А., Агапитова Н.В

2.12. Найти момент инерции однородной прямоугольной пластинки массы , длины и ширины относительно перпендикулярной к ней оси, проходящей через: а) центр пластинки, б) одну из вершин пластинки.

Р ешение. Выделим полоску шириной параллельно, например, стороне « » прямоугольника; масса этой полоски = . Момент инерции этого элемента пластинки относительно оси : d По теореме Штейнера момент инерции того же элемента относительно оси : d = . Момент инерции пластинки в целом относительно оси : = .

Момент инерции относительно оси, проходящей через вершину пластинки и перпендикулярную ей, равен:I= .

2.13. Прямой круглый однородный конус имеет массуm и радиус основания R. Найти момент инерции I конуса относительно его оси.

Решение. Объем конуса разбиваем на тонкие круглые диски, перпендикулярные оси симметрии . Радиус элементарного диска ,

е го масса

Момент инерции: .Момент инерции конуса

2 .14. Однородный цилиндр массы m и радиуса r катится без скольжения по горизонтальной плоскости. Центр цилиндра движется со скоростью (см.рис.). Найти модуль момента импульса цилиндра относительно точек 1, 2 и 3, которые лежат в перпендикулярной к цилиндру плоскости, проходящей через его центр.

Решение. Момент импульса тела относительно произвольно заданной неподвижной точки ( например, 1, 2 или 3) определяется суммой собственного момента импульса и момента импульса , обусловленного поступательным движением тела как целого, т.е. . В проекциях на ось z, которую проведем перпендикулярно плоскости рисунка и от нас, это равенство представим в виде

.

В рассматриваемом случае при . Моменты импульса катящегося цилиндра относительно точек 1, 2, 3 соответственно равны:

2.15. Однородный шарик помещен на плоскость, образующую угол α=30,0° с горизонтом.

1. При каких значениях коэффициента трения шарик будет скатываться с плоскости без скольжения?

2. Полагая =0,100, а) определить характер движения шарика, б) найти значения скоростей точек A, В и С шарика спустя =1,00 с после начала движения.

Р ешение. Напишем уравнения поступательного движения шарика вдоль наклонной плоскости и вращательного движения вокруг оси , полагая, что скольжения нет:

Уравнения (1) и (2) совместно дают:

Подставляя (3) в (1), получим (4).

Скольжение отсутствует, если . Максимальная сила трения . Итак, имеем:

При шарик будет скользить по наклонной плоскости, вращаясь одновременно.

2.16. Однородный сплошной цилиндр массы =1,00 кг висит в горизонтальном положении на двух намотанных на него невесомых нитях (рис.). Цилиндр отпускают без толчка.

а) За сколько времени цилиндр опустится на расстояние =50,0 см?

б ) Какое натяжение испытывает при опускании цилиндра каждая из нитей?

Решение. На рисунке вектор определяет силу натяжения обеих нитей. В данной системе цилиндр совершает поступательное движение вертикально вниз и вращательное движение вокруг оси . Соответствующие уравнения имеют вид:

.

В уравнениях (1) и (2) содержится 3 неизвестных величины: сила и ускорения . Поэтому напишем уравнение вращательного движения тела относительно оси А: Подставляем (3) в (2):

Отсюда находим (4). Из (1) и (4) получаем ускорение опускания цилиндра: . Из (5) с учетом начального условия следует: . При этом за время t цилиндр опустится навысоту . Отсюда . Для h=0,5м t=0,4с. На основании (1) и (5) находим силу натяжения одной нити:

.

2.17. На ступенчатый блок (см.рис) намотаны в противоположных направлениях две нити. На конец одной нити действуют постоянной силой , а к концу другой нити прикреплен груз массы m. Известны радиусы ступенчатого блока , , момент инерции блока относительно оси вращения . Трения нет. Найти угловое ускорение блока.

Р ешение. Обозначим силу натяжения правого участка нити через Т и напишем уравнение движения тел данной системы:

1) для груза mMa=mg-T (1),

2) для блока (2).

Здесь – угловое ускорение блока, которое связано с тангенциальным ускорением соотношением (3). Исключая из системы равенств (1) и (2) величину Т с учетом соотношения (3), получим: .

2.18. Однородный цилиндр радиуса раскрутили вокруг его оси до угловой скорости  и поместили затем в угол (см.рис). Коэффициент трения между стенками угла и цилиндром равен . Сколько времени цилиндр будет вращаться в этом положении?

Решение.Действующие на данное тело силы показаны на рисунке. Поскольку данное тело не совершает поступательного движения, то , . Если учесть, что силы трения , , то из предыдущих соотношений следует: , . Отсюда получаем: , .

Т еперь нам необходимо найти угловую скорость замедленного вращения цилиндра. Из динамического уравнения угловое ускорение . Подставляя выражения для и , получим . Угловая скорость в произвольный момент времени . В момент остановки . Следовательно, время вращения цилиндра до остановки будет равно .

2.19. Маховик с начальной угловой скоростью начинает тормозиться силами, момент которых относительно его оси пропорционален квадратному корню из его угловой скорости. Найти среднюю угловую скорость маховика за все время торможения.

Решение. Согласно условию момент тормозящих сил, действующих на раскрученный маховик, , где >0 – некоторая постоянная, - модуль мгновенной угловой скорости вращения. Из уравнения вращательного движения маховика относительно неподвижной оси легко установить зависимость : , . Для t = 0 , следовательно, и , т. е. . Длительность вращения маховика найдём из условия : . При этом средняя скорость вращения маховика равна