Материал: Проблемы обеспечения надежности и качества приборов, устройств и систем. Федоров А.И., Сидоров Б.Н

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

длины, оно будет ортогональным, или преобразованием поворота. Для того, чтобы выяснить, вокруг какой оси и на какой угол происходит поворот, определяемый конкретным кватернионом представим кватернион в виде:

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Величину, стоящую в скобках называют вензором кватерниона, векторная часть которого имеет вид:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

2

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

3

 

1

2

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12 22 32

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(5)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вводя замену:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin

 

 

 

12

22

32

cos

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Так как сумма квадратов этих величин всегда даст единицу, то данные можно представить как синус и косинус некоторого угла. Исходя из введенной замены кватернион примет вид:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

 

sin

 

 

,

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

Заметим, что вектор является единичным, так

как:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

2

 

1

2

3

 

 

Далее выполним ортогональное преобразование над векторным кватернионом R (0,r):

101

 

 

 

 

 

 

 

 

R

( r)sin

 

,cos

 

r sin

 

(

r)

2

2

2

 

 

 

 

 

 

 

Теперь умножим полученный результат на обратный кватернион:

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

 

 

, sin

 

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычислим отдельно скалярную:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

scal( R 1) ( r)sin

cos

( r)sin

cos

sin2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

2

2

 

 

И векторную часть:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

vec( R 1) cos2

 

r

sin

cos

( r)

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin2

( r) sin

 

cos

( r) sin2

( r)

 

 

 

2

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos2

r sin ( r) 2sin2

 

( r) sin2

 

r

 

 

 

2

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(6)

(7)

В конечном итоге, на основании формул (6) и (7) приходим к выводу, что на выходе получается некоторый вектор:

r1 (1 cos )( r) cos r sin ( r)

(8)

Формула (8) это формула конечного поворота Родрига. Преобразование которое, с учетом того, что для единичного кватерниона операция вычисления обратного кватер-

ниона эквивалентна сопряжению, имеет вид:

r1 r

Так же эквивалентно повороту вектора вокруг оси, за-

даваемой ортом на угол .Угол поворота и вектор, вокруг которого происходит вращение можно рассчитать по компонентам кватерниона, исходя из замен, введенных нами выше.

Следовательно единичный кватернионопределяет конечный поворот, компоненты которого построены по формулам:

102

 

cos

 

;

 

 

 

sin

 

;

 

 

 

 

sin

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

sin

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

2

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

3

 

2

3

 

Та

же

 

 

матрица

Ac1

 

 

в

 

координатах

 

 

 

Родрига-

 

Гамильтона будет иметь вид:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

2( )

2( )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

2

 

 

 

 

3

4

2

 

1

4

 

 

2

 

3

 

 

 

 

1

 

3

 

 

2

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

2

 

2( 1 2 3 4)

 

 

Aс 2( 1 4 2 3)

 

 

 

1

3

2

4

 

 

 

 

2( )

 

 

 

2( )

2

2

2

2

 

 

 

 

 

1 3

 

 

 

2 4

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

2

 

 

 

 

3

4

 

 

1

4

 

 

 

2

 

 

 

3 , (9)

 

где i параметры Родрига Гамильтона, i =

 

 

 

 

 

 

14,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2i

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Начальные значения параметров Родрига-

 

Гамильтона вычисляются по известным формулам

 

 

 

cos

0

cos

0

cos

0

 

sin

0

 

sin

0

sin

0

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin

0

sin

0

 

 

 

cos

0

cos

0

cos

0

sin

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

20

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

2 ; (10)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin

0

 

cos

0

cos

0

 

 

cos

0

sin

0

 

sin

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

30

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

40

cos

0

sin

0

 

cos

0

 

 

sin

0

 

cos

0

 

sin

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2 .

 

А обратный переход от параметров РодригаГамильтона к углам Эйлера (например, при выводе текущих параметров движения) производится по формулам:

103

tg

 

2 1 3 2 4

 

 

12 22 32 42

;

sin 2 1 4 2 3 ;

 

tg

 

2 1 2 3 4

 

 

12 32 22 24 .

(11)

В результате четыре параметра Родрига-Гамильтона однозначно определяют ориентацию снаряда в пространстве без вырождения при любых параметрах вращения. То есть, если обнулить угол поворота, то орт оси вращения так же станет равен нулю, а при повороте на любой конечный угол мы всегда можем рассчитать положение оси поворота.

Литература

1Постников А.Г. Внешняя баллистика авиационных неуправляемых снарядов: учебное пособие для вузов/ А.Г. Постников. – М.: ВВИА, 2003. – 395 с.

2Амелькин Н.И. Кинематика и динамика твердого тела (кватернионное изложение): учебное пособие для вузов/ Н.И. Амелькин. – М.: МФТИ, 2000. – 61 с.

Воронежский государственный технический университет

104

УДК 629.7.05:623.746.-519

А.В. Мельников, Д.И. Коробкин, Е.А. Рогозин, Д.А. Урясьев

ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ БЕСПИЛОТНЫМ ЛЕТАТЕЛЬНЫМ АППАРАТОМ

В статье рассмотрены варианты управления, а также предложена модель функционирования беспилотного летательного аппарата в виде ориентированного графа с конечным числом состояний

История успешного применения беспилотных летательных аппаратов (БЛА) насчитывает уже почти восемь десятилетий. В последнее время интерес к ним намного возрос. По мнению некоторых экспертов, БЛА являются наиболее перспективным направлением развития авиации. Это объясняется не только тем, что массовое производство и применение БЛА оказывается дешевле и проще, чем пилотируемых летательных аппаратов, но и тем, что некоторые типы БЛА способны решать задачи, недоступные пилотируемым летательным аппаратам, к примеру, задачи ближней разведки в условиях плотной городской застройки. Повреждение БЛА в ходе выполнения боевой задачи несет лишь финансовые потери и не угрожает жизни пилота-оператора, что позволяет использовать БЛА в рискованных операциях [1].

В зависимости от типа управления БЛА подразделяются на неуправляемые – движущиеся по заранее заданным контрольным точкам, дистанционно-пилотируемые и автономные. Управление, в первом и втором способе, ориентировано на человека и не учитывает новые технические возможности существующих и перспективных систем. Сегодня на смену дистанционно-пилотируемым аппаратам приходят автономные аппараты, способные самостоятельно выполнять поставленную задачу при минимальном вмешательстве человекаоператора.

105

Источник: https://studfile.net/preview/16568696/

Смотрите также:

17. Введение 18. Линейные программы 19. Ветвления 20. Программирование циклических алгоритмов
Сборные железобетонные ребристые плиты перекрытия
_-___-~1
_3 тема - Диффузия
_Роджерс Карл, Брак и его альтернативы
_Штерн Вильям, Дифференциальная психология и ее методические основы
- Описание типа СЭТ7009
- Программа ГПИ
?Теоретические основы анализа и мониторинга качества
'Заповит' Рейнгольда Глиэра: стилистические особенности