Материал: Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3

• у с т о й ч и в о с т ь к о н с т р у к ц и й

в в е д е н и е

Явления потери устойчивости. Форму равновесия статически нагру­ женной конструкции называют устойчивой, если малым возмущающим воздействиям соответствуют малые отклонения от этой формы. На­ грузки, при которых происходит потеря устойчивости, называют

критическими, а соответствующие состояния — критическими состоя­ ниями. Опасность потери устойчивости особенно велика для легких, тонкостенных конструкций типа гибких стержней, пластинок и обо­ лочек.

Явления потери устойчивости весьма разнообразны. Наиболее важны следующие случаи проявления неустойчивости:

1)появление качественно новых смежных форм равновесия;

2)появление несмежных форм равновесия;

3)исчезновение устойчивых форм равновесия;

4)полное исчезновение любых форм равновесия;

5)достижение недопустимо больших скоростей деформаций в кон­ струкциях, материал которых обладает свойством ползучести.

Появление качественно новых форм равновесия. Примером может служить центральное сжатие первоначально прямого упругого стержня (задача Эйлера). При умеренных значениях сжимающей силы прямоли­ нейная форма равновесия — единственная и притом устойчивая форма равновесия; малым возмущениям этой формы, которые осуществляются, например, при помощи малой дополнительной поперечной нагрузки,

соответствуют малые прогибы. При критическом значении сжимающей силы прямолинейная форма становится неустойчивой и после малых возмущений стержень приобретает новую (устойчивую) форму равно­ весия, которой соответствует изогнутая ось.

При сжимающих силах, даже ничтожно превышающих критическое значение, дополнительные напряжения изгиба достигают весьма боль­ ших значений и непосредственно угрожают прочности конструкции. Поэтому критическое состояние, как непосредственно предшеству­ ющее разрушению, считается недопустимым в реальных условиях эксплуатации. Определение критических нагрузок является ответствен­ ной частью инженерного расчета конструкции и позволяет избежать потери устойчивости введением надлежащего запаса.

Совокупность равновесных состояний, соответствующих различным значениям параметра нагрузки, иллюстрируют диаграммами состояний равновесия. Для стержня .на рис. 1, а диаграмма состояний равновесия имеет вид, показанный на рис. 1, б. По оси абсцисс отложены значения характерного перемещения (например, прогиба верхнего конца стержня), а по оси ординат — значения сжимающей силы. Здесь кон­ турными линиями показаны устойчивые состояния равновесия, а кре­ стиками — неустойчивые состояния равновесия.

точкой бифуркации.

Появление несмежных форм равновесия. В начале нагружения при монотонном росте нагрузки обычно происходит также монотонное (почти по линейному закону) воз­ растание упругих деформаций и перемещений. Однако в некото­ рых особенных системах на опре­ деленном уровне нагружения происходит «хлопок» и система скачком приобретает новую кон­ фигурацию. Такова, например, «хлопающая мембрана», пока­ занная на рис. 2, а; соответст­ вующая диаграмма равновесных состояний показана на рис. 2, б.

Такая диаграмма типична для ряда иных конструкций, напри­ мер, для сжатых вдоль оси тон­ ких цилиндрических оболочек. При постепенном росте интен­ сивности нагрузки 7 прогибы

мембраны растут, следуя кривой АВ. Точке В соответствует крити­ ческое состояние, так как при дальнейшем росте нагрузки происходит мгновенный перескок в точку В' на участке кривой СВ (см. горизонталь­ ную прямую ВВ') и дальнейший процесс определяется точками этого участка. Если после нагружения до какой-либо точки В начать обрат-

а)

ную разгрузку, то она будет соответствовать точкам участка В С, вплоть до точки С. В этой точке происходит обратный хлопок мембраны (см. нижнюю горизонтальную прямую СС') и дальнейший процесс харак­ теризуется снова первым участком кривой А В вплоть до полной раз­ грузки мембраны (точка О).

Точки, лежащие на участке ВС кривой, также соответствуют со­ стояниям равновесия, но эти состояния неустойчивые и не реализуются ни при монотонном нагружении, ни при обратной монотонной разгрузке. Если искусственно завести мембрану в состояние, соответствующее какой-либо точке этого неустойчивого участка ВС, то после любого сколь угодно малого возмущения мембрана совершит перескок на ка-

ком-либо из устойчивых участков (АВ или СП в зависимости от направ­ ления приложенного возмущения).

В подобных системах характерно существование двух критических значений нагрузки — верхнего критического значения, соответствующего точке В, и нижнего критического значения, соответствующего точке С (в некоторых случаях нижнее критическое значение оказывается отрицательным).

Хлопающая мембрана представляет собой систему, способность которой к перескокам используют в техниче­ ских целях; в других случаях пере­ скоки практически означают выход конструкции из строя.

Исчезновение устойчивых форм рав­ новесия. В некоторых системах кри­ тическое состояние характеризуется исчезновением устойчивых форм равно­ весия и при достижении критического уровня нагружения система уже не может находиться в покое,—достаточно любого возмущения, чтобы система пришла в состояние движения, которое с течением времени все дальше уводит систему от исходного состояния равно­

весия. Это движение может быть апериодическим (монотонный уход от исходного состояния равновесия) или носить характер колебаний с по­ степенно возрастающей амплитудой. В этих случаях диаграмма равно­ весных состояний имеет вид, показанный на рис. 3, а. Ниже критиче­

восходящих критическое значение, равновесие вообще невозможно. Подобная кривая получается, например, при внецентрениом сжатии упруго-пластического стержня [иногда этот вид потери устойчивости называют потерей устойчивости второго рода, подразумевая под поте­ рей устойчивости первого рода описанный ранее случай 1 (см. стр. 7)]. При Р^>Ркр система не может вообще находиться в состоянии равнове­ сия (в предыдущем случае 3 такие состояния существуют, хотя являются неустойчивыми), т. е., можно сказать, что происходит не потеря устой­ чивости формы равновесия, а утрата самого свойства равновесия (по­ теря несущей способности) и система приходит в состояние движения;

10 Введение

в данном случае это движение носит характер апериодического ухода от исходной формы со все возрастающей скоростью.

Потеря устойчивости при ползучести материала. Если материал, из которого выполнена конструкция, обладает свойством ползучести, то деформации и перемещения монотонно увеличиваются с течением вре­ мени при неизменной внешней нагрузке. Так как конфигурация системы постепенно меняется, то в некоторых случаях при этом происходит по­ степенное же перераспределение напряжений; поэтому скорости де­ формации возрастают и могут достигнуть недопустимо больших значений

и оказаться даже бесконечно боль­

времени увеличивается со все возрастающей скоростью, как это показано на рис. 5, б. Кривая 1 соответствует нагрузке, превосходящей на­ грузку, для которой построена кривая 2\ поэтому критическое время в первом случае меньше, чем критическое время во втором случае.

Перечисленные пять важнейших типов потери устойчивости практи­ чески наиболее важны и отражены в справочном материале, приведен­ ном в гл. 1—3 для конкретных типов конструкций. Вопросы потери устойчивости при периодическом нагружении (явление парамет­ рического резонанса, см. гл. 6), динамического продольного изгиба при ударной нагрузке здесь не рассматриваются.

Методы решения задач об устойчивости форм равновесия. Наиболее общим методом исследования устойчивости является динамический метод. Предполагают, что исследуемая форма равновесия каким-либо образом нарушена, и изучают движение, которое возникает после такого начального возмущения. По свойствам возмущенного движения судят об устойчивости или неустойчивости исследуемой формы равновесия; если движение представляет собой колебания с постепенно возраста­ ющими амплитудами или носит апериодический характер с увеличива­ ющимися отклонениями, то исходная форма равновесия является не­ устойчивой, в противном случае, когда система все время остается в окрестности исходной формы равновесия, последняя является устой­ чивой.

Для практического использования этого метода необходимо предва­ рительное изучение возможных форм равновесия при различных уров­ нях нагружения, т. е. построение диаграммы состояний равновесия; лишь после этого становится возможным установить с помощью дина­ мического метода, какие из этих состояний устойчивы и какие неустой­ чивы. Следует иметь в виду, что во многих случаях (кроме случая 3. см. стр. 9) сама структура диаграммы состояний равновесия дает

и дополнительное динамическое исследование оказывается излишним; при этом главная трудность состоит именно п построении указанной диаграммы, а не в контроле равновесия отдельных ее ветвей. Исключе­ ние представляет случай 3 (см. стр. 9), когда динамический метод ока­ зывается принципиально единственным методом исследования устой­ чивости.

Внастоящее время особенно подробно изучены задачи, относящиеся

кслучаю 1 (бифуркационные задачи). Для определения точек бифурка­ ции пользуются способом Эйлера или энергетическим методом.

Основная идея способа Эйлера состоит в следующем. Предполагают, что смежная, качественно новая форма равновесия существует, тогда из уравнений, характеризующих эту форму равновесия, определяют нагрузки, при которых она становится возможной. При постановке соответствующих задач идеализируют геометрию системы и способ ее нагружения (идеально прямолинейная форма исходного стержня, идеально плоская исходная форма срединной поверхности пластинки, отсутствие эксцентрицитетов нагрузки и т. п.). Многие из этих задач (в случаях большой гибкости конструкции) допускают решение на основе гипотезы о физической линейности (т. е. использование закона

Гука), но нередко приходится учитывать физическую нелинейность (пластические свойства материала).

Поскольку рассматривается форма равновесия, смежная с исходной (исследуемой на устойчивость), постольку решение основывается на предположении о сколь угодно малых величинах отклонений системы от исходной формы равновесия (геометрическая линеаризация задачи).

В обычных случаях распределенной деформативности конструкции указанные выше уравнения равновесия оказываются дифференци­ альными и задача сводится к определению собственных значений и соответствующих собственных форм, отвечающих тем или иным задан­ ным граничным условиям. После этого критические значения нагрузки легко определяют через найденные собственные значения. Эти операции удается выполнить в замкнутом виде только в сравнительно простых случаях (стержни постоянного поперечного сечения при несложных типах нагружения продольными силами, пластинки постоянной тол­ щины при совпадении их границ с координатными линиями и в усло­ виях сравнительно простого нагружения силами, лежащими в средин­ ной поверхности). В других случаях приходится пользоваться прибли­ женными способами решения дифференциальных уравнений.

Энергетический метод оказывается особенно удобным в тех относи­ тельно сложных случаях, когда способ Эйлера не позволяет получить решение в замкнутой форме. Суть энергетического метода состоит в исследовании изменения полной энергии системы (вариации полной энергии) при переходе из исходной формы равновесия в возмущенную форму равновесия. Критическому значению нагрузки соответствует нулевое значение этого изменения.

При практическом использовании энергетического метода заранее задаются видом отклоненной формы равновесия и тем самым неизбежно вносят некоторую приближенность в решение. При этом важно, чтобы предположенная возмущенная конфигурация системы удовлетворяла граничным условиям данной задачи. Среди рассматриваемых возмож­ ных отклоненных конфигураций ближе остальных к истинной та конфи­ гурация, которой соответствует наименьшее значение вычисленной