12 Введение
энергетическим методом критической нагрузки. Согласно этому методу отклоненная форма равновесия задается с точностью до нескольких неопределенных параметров, и затем соотношения между ними опре деляются из условий минимума полной энергии системы.
Способ Эйлера и энергетический метод (в частности, метод Ритца) позволяют найти критическую нагрузку, но не дают возможность построить всю кривую равновес ных состояний в за критической области; впрочем, в большинстве случаев этого достаточно, по скольку само достижение крити ческого состояния обычно являет
ся недопустимым.
В |
случаях |
2 и |
4 |
требуется |
|||
построение |
кривой равновесных |
||||||
состоянии или, по крайней мере, |
|||||||
определение |
характерных |
точек |
|||||
этой кривой (т. е. точек макси |
|||||||
мума |
или |
|
минимума, |
опреде |
|||
ляющих |
верхнюю |
и |
нижнюю |
||||
критические нагрузки). Как пра |
|||||||
вило, |
при |
этом |
учитывают гео |
||||
метрическую нелинейность зада |
|||||||
чи, так как |
перемещения |
уже |
|||||
не всегда можно считать доста |
|||||||
точно малыми. Во многих случаях приходится |
учитывать |
также и |
|||||
физическую нелинейность, связанную с отклонениями от закона Гука. При построении подобных диаграмм важно не пропустить ни одной из ветвей. Так, для стойки, показанной на рис. 6, а, полная диаграмма выглядит подобно рис. 6, б, хотя при недостаточно тщательном анализе
можно прийти к диаграмме, изображенной на рис. 6, в, из которой сле дует ошибочное заключение относительно критического значения нагрузки (с четырехкратной ошибкой).
В случае 5 требуется построение кривых / = / ( / ) при различных уровнях нагружения. Существенную роль играет принятый закон ползучести, т. е. зависимость скорости деформации ползучести от напряжения.
Глава /
УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕРЖНЕЙ
УПРУГИЕ СТЕРЖНИ НА ЖЕСТКИХ ОПОРАХ*
Общие сведения
При эйлеровой форме потери устойчивости критическую силу определяют из дифференциального уравнения изогнутой оси, спра ведливого для любого участка стержня, в пределах которого продоль ная сила неизменна:
& |
( г г |
* а |
\ . А, |
<&> |
0 ) |
|
Ф* |
\ Е* |
Ф2 |
) + М |
йг2 ~ 0, |
||
|
здесь V = о (г) — прогиб сечения с абсциссой г\ Е^ — жесткость при изгибе; N — продольная сила. Для стержней с постоянной жесткостью {Е^ = соле!) дифференциальное уравнение (1) принимает вид
|
+ |
а°- |
|
= 0, |
( ) |
6.гх |
|
|
№ |
2 |
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3) |
Общее решение дифференциального уравнения (2) |
(4) |
||||
V ==С1 §!П02-}-СоС050.2. -{-С$2 С4 |
|||||
должно удовлетворять четырем граничным условиям (по два условия на каждом конце стержня). Поочередное использование этих условий приводит к однородной относительно Сс системе линейных алгебраи ческих уравнений. Критическую силу находят из равенства нулю определителя, составленного из коэффициентов этой системы.
Пример 1. Определение критической силы для стержня с заделанными идами (см. табл. 1, схему 5).
На каждом нз концов прогиб и угол поворота сечения равны нулю, т. е.
V(0)= 0: V' (0)= 0; V(/)= 0; V' (П— 0.
Согласно выражению (4) приходят к однородной относительно С; системе
уравнений
С3 + С4 = 0: аС, + Са = 0;
С, 51П аI + С8 с05 а I + С,/ + С4 = 0:
____________ аС, со$ а.1 — аС, 51П а1 + Са — о * Написано совместно с И. И. Губановой.
14 |
Устойчивость стержней |
|
||
и критическую силу определяют из условия |
|
|
||
|
0 |
1 |
0 |
1 |
|
а |
0 |
1 |
0 |
|
51 п а/ |
соз а1 |
/ |
1 |
|
асоз а! |
— а 51п а' |
1 |
0 |
После развертывания определителя получается трансцендентное уравнение
. |
о( |
^ |
/ |
. |
а! |
а/ |
а/ |
\ Л |
5,„ |
_ |
|
, |
п _ ------- |
- с о » |
— |
] = 0 . |
наименьший корень которого
а / = 2л.
Следовательно, согласно формуле (3) критическая сила будет
_ Ы Е З_ кV ~ I*
Многопролетные стержни (неразрезные балки), стержни со ступен чатым изменением жесткости, а также стержни, нагруженные несколь кими продольными силами в промежуточных сечениях, подразделяют на отдельные участки с таким расчетом, чтобы в пределах каждого из них можно было пользоваться дифференциальным уравнением (2). При этом па границах участков должны выполняться условия сопряже ния, относящиеся к самой функции и ее производным
о+ = о_; |
= о_\ |
= (&/»")_; |
здесь индексы минус и плюс относятся соответственно к сечениям, расположенным непосредственно слева и справа от границы между участками. В этих случаях удобно пользоваться представлением ре шения дифференциального уравнения через начальные параметры
У = О0 + |
|
|
.. |
1 — сов а з |
_ |
а г — з!п а г |
1 |
|
ф(,г — М0 ------ |
|
Ту---------- |
<?0 |
аУУ |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, .. |
|
а 5Ш а г |
Л |
1 — со$ а г |
|
||
Ф = Фо “ГЛ40-- |
Ту---- |
|
Ро--- |
77-- |
|
(5) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М |
= |
Л40 с о з |
а г |
+ - 5 |
5 - $П1 |
а г ; |
|
|
О — — а М 0 з ш а г + |
р 0 с о з а г ; |
|
||||||
здесь 1>0. Фо* Л4о и 0 о — начальные параметры — прогиб, угол пово рота, изгибающий момент и поперечная сила в начале участка (при
2 = 0).
|
|
|
|
Упругие стержни на щетках |
опорах |
|
|
|
15 |
|||||||||
П ри м ер |
2. С остав и м у р а в н е н и е д л я |
о п р ед е л ен и я |
к р и ти ч еск о й |
силы |
к он |
|||||||||||||
с о л ь н о г о |
с т е р ж н я , |
н а г р у ж е н н о г о |
д в у м я сж и м аю щ и м и си л ам и |
Р , |
и |
Р , |
(см . |
|||||||||||
с х е м у в |
т а б л . 3); |
п р и |
этом о „ = 0 , |
ф о= 0 , |
<2о= 0 ‘ П о л ь зу я с ь |
вы р а ж ен и я м и |
(б ), |
|||||||||||
п ол у ч а ем д л я к о н ц а п е р в о г о уч а ст к а (г = а) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 — соза! а)\ |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
_ |
|
С1гМ0 |
з!п |
с^а; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Р , + Р , |
|
|
|
|
|
|
|
(6) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М„ = |
М 0 со$ а,а; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где |
= |
1 |
/ |
" |
Пр и н и ма я |
величи ны |
са, Фд, |
Л1Д и $ а |
в кач естве |
н а |
||||||||
ч ал ьны х п а р а м ет р о в |
и |
вновь |
п о л ь зу я с ь |
в ы раж ен и ям и |
(5), н аход и м |
д л я к он ц а |
||||||||||||
вто р о го |
уч а ст к а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Л/„ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т ак к ак |
на |
к он ц е в т ор ого у ч астк а д о л ж н о |
быть АГ„а — О, |
||||||||||
|
|
|
|
м а со з а а (I — а) + |
з!п а* (/ - |
|
|
|
|
|
|
(7) |
||||||
С и стем а |
п я ти |
у р а в н е н и й |
(6) |
и |
(7) |
о д н о р о д н а |
от н о си т ел ь н о |
пяти |
п а р а |
|||||||||
м етр ов |
М 0, |
од , фд , |
М а и <2а. |
К р и т и ч еск у ю с и л у |
о п р ед е л я ю т |
из |
у р а в н е н и я |
|||||||||||
|
|
1 — соз а ха т |
— 1; |
0; |
|
0; |
|
|
0 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Р х + Р » |
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
а! з!п а,а |
|
0; |
— 1; |
|
П' |
|
|
0 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
Л + |
Р, |
' |
|
и» |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
0; |
0; |
|
- 1 ; |
|
|
0 |
|
|
|
|
||
|
— |
з!п а^а; |
0; |
0; |
|
0; |
|
— 1 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
0; |
|
|
0; |
0; |
соза2 (/ — а); |
|
$1п а3 |
(/ • |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
в котор ом |
с о д е р ж а т с я |
зн а ч ен и я |
о б е и х с ж и м а ю щ и х |
си л Р , |
и Р , . |
|
|
|
||||||||||
С помощью этих способов решен ряд задач о критических силах для стержней, состоящих из участков постоянного сечения, с постоянной в пределах каждого участка сжимающей силой. Результаты решений
16 |
Устойчивость стержней |
|
приведены |
в готовом виде на стр. 17— 18. |
Критическая сила пред- |
ставлена в |
виде |
|
|
Я'2Е^тш |
(8) |
|
Ркр = |
|
|
< И а |
’ |
где ц — коэффициент, зависящий от устройства опор и способа нагру жения стержня и называемый коэффициентом длины. Произведение ц,/ называют приведенной длиной.
Формулой (8) можно пользоваться при условии, что гибкость
стержня, определяемая выражением |
|
|
1 - |
^ |
(9) |
удовлетворяет неравенству
( 10)
V
В формулах (9) и (10) Р — площадь сечения стержня; стЛЧ — предел пропорциональности. Если условие (10) не выполняется, то потеря устойчивости наступает при напряжениях, превосходящих предел пропорциональности, и критическую силу определяют по указаниям, приведенным на стр. 80—88.
Формулу (9) представляют также в виде |
|
Р д а - Ч - ? ? - . |
и » |
причем коэффициент г| связан с коэффициентом длины р. соотношением
*П= - |
я 2 |
( 12) |
|
||
Однопролетные стержни |
постоянного сечения |
|
Действие сосредоточенных нагрузок. Значения коэффициентов р.ит] для различных случаев нагружения стержней приведены в табл. 1—4.
Критическое |
соотношение |
между сжимающими силами, |
прило |
|
Рг Рг |
Рп |
женными в |
промежуточных сечениях |
|
консольного |
стержня, можно |
найти |
||
|
|
по приближенной формуле (рис. 1) |
||
-Оп-1---- |
Ч *),+*(*)'+ |
-02- |
|
Рис. 1 |
+ • • • +Рп= я2^ г ° - . (13) |
|
Для устойчивости стержня необходимо, чтобы левая часть соотно шения (13) была меньше правой части.
Действие распределенных нагрузок. Если внешняя продольная на грузка приложена непрерывно, то дифференциальное уравнение задачи записывают так: