230 |
О сновы т е о р и и |
Схема
7
к о л е б а н и й м ех а н и ч еск и х |
си ст ем |
|
|
Числостепе свободыней |
|
Продолжение табл. 6 |
Обобщенные |
Особенности |
|
|
координаты |
системы |
|
|
|
3 |
Линейные |
пере |
См. |
особенности |
||||
|
|
|
мещения |
|
Ух(1), |
схемы 3 табл. |
5 |
||||
Изгнбные |
|
колебания |
у, а), у* и) |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
двухопорной балки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0— 0 |
|
Угловое переме |
См. |
особенности |
|||||||
|
схемы Ртабл. 5. Кро |
||||||||||
2 |
щение диска |
ф (0, |
ме |
того, пружина |
|||||||
относительное |
ра |
не |
обладает |
мас |
|||||||
|
|
|
|
диальное |
переме |
сой, масса груза со |
|||||
Колебания |
|
системы |
щение груза |
у (/) |
средоточенная |
|
|||||
диск—груз |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Линейное |
пере |
|
См. |
особенности |
|||
|
|
|
2 |
мещение |
у (0, |
уг |
|
||||
|
|
|
ловое перемещение |
схемы |
4 табл. |
5 |
|||||
Изгнбные |
|
колебания |
Ф (« |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
консоли |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— *• |
|
Линейные |
пере |
|
См. |
особенности |
|||
|
|
у,к |
2 |
|
|||||||
X |
- |
мещения |
у 1 |
(0 |
и |
|
|||||
|
схемы 3 табл. 6 |
||||||||||
Изгнбные |
|
колебания |
Ух (0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ломаного стервкия |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Линейное |
пере |
|
|
|
|
||
|
|
|
2 |
мещение |
|
у (/)> |
|
|
|
|
|
1ТП71Х |
ТП7П0 |
угловое |
перемеще |
|
|
|
|
||||
|
ние ф (/) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Плоские |
колебания |
дн- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ска |
|
|
|
|
|
|
|
|
См. |
особенности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
схемы |
6 табл. |
5 |
|
•
Линейные пере мещения И),
3Ух <0, угловые пе ремещения ф (/)
Плоские колебания ди ска
Основные понятия |
23.1 |
232 Основы теории колебаний механических систем
Схема
Число степе ней свободы
Продолжение табл. 6
Обобщенные Особенности координаты системы
Н ф |
^ |
ф |
Относительны |
Стержни |
абсо |
|
|
|
3 |
лютно |
жесткие. |
||
|
|
углы поворота |
Пружины |
|
массой |
|
Плоские |
колебания |
|
не обладают |
|
||
|
|
|
|
|||
2
Колебания системы диск—груз
2
Колебания системы диск—груз
Угловые переме |
См. |
особенности |
|||
щения |
Ф, <0 |
(ди |
схемы |
9 |
табл. 5. |
ска) |
И |
фя (*) |
Кроме |
того, стер |
|
(стержня а) |
|
жень |
а |
абсолютно |
|
|
|
|
жесткий |
|
|
та |
Угол |
поворо |
Качение не со |
ф, |
относитель |
провождается сколь |
|
ное смещение гру |
жением |
||
за |
у вдоль радиуса |
|
|
|
|
|
|
Форма |
изогну |
|
|
|
|
|
той оси балки зада |
||
|
|
|
|
на с |
точностью до |
|
|
|
|
|
нескольких параме |
||
|
|
|
|
тров |
и удовлетво |
|
'' |
|
|
|
ряет |
условиям за |
|
|
Параметры |
ах, |
крепления; |
напри |
||
1_ — - г |
- |
мер, |
|
|
||
. . ., ап |
|
|
|
|||
|
|
|
|
у = 2] а‘I 1 - |
||
|
|
|
|
|
1=1 |
1лх \ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
С°5— ) |
|
|
Основные понятия |
233 |
|
7. Динамические системы с несколькими степенями свободы |
|||
Заданная механическая |
Динамическая расчетная схема |
Число |
|
система |
|
степеней |
|
|
|
|
свободы |
|
|
Простейшая |
|
Ковочный молот |
{про |
Уточненная |
2 |
дольные колебания) |
|
||
Автомобиль (плоские колебания)
1 Махобик
!
мЛ
_ 1Т - 1 |
г - Т № |
] |
4 •'//////У |
У/////У////////'/* '///>/> |
|
—с,*
Двигатель-генератор
Г^ 1
Простейшая
Уточненная
Упрощенная
ь
/7
/, и
и 0, и |
- с , - |
Уточненная
234Основы теории колебаний механических систем
&.Число степеней свободы при наличии элементов трения
|
|
Основные понятия |
235 |
|
9. Примеры непрерывно деформируемых систем |
||
|
__________ с распределенной массой__________ |
||
|
Схема |
Функции, определяющие конфигурацию |
|
|
|
системы |
|
1 |
Г - |
|
|
ф = Е = ^
Продольные колебания
| с ~ -------- |
7?------- |
Ъ -*- |
Крутильные колебания
*
I V
Изгибные колебания
Изгиб н кручение полосы
Общий случай изгиба пла стинки
С ё н
Продольные перемещения * (х, 0
Углы закручивания
Ч \х, *)
Поперечные перемещенля о ( х, 1)
Прогибы V (X, /).
Углы закручивания ф (л, /)
Прогибы
ш = и/ (г, а , ().
Прогибы
сг = ю (л:, у , /)
Прогибы
и)=и) {г, /)
Осесимметричный изгиб пла__стинки
236 Основы теории колебаний механических систем
КОЛЕБАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
Свободные колебания
Свободными называют колебания, происходящие после некоторого начального нарушения состояния равновесия механической системы, которая затем остается предоставленной самой себе и движется под действием восстанавливающих сил и, возможно, сил трения. В системах с одной степенью свободы это нарушение состояния равновесия харак теризуется начальным смещением у 0 и начальной скоростью о0.
Системы без трения. Независимо от конструкции системы диффе ренциальное уравнение движения при водится к виду
ту + су = 0 или у 4- р2у = 0, |
(4) |
|
в котором у — у (0—обобщенная коор |
||
дината; /и—инерционный коэффициент |
||
(обобщенная |
масса); с — коэффициент |
|
жесткости, представляющий собой ста |
||
тическую силу, способную вызвать пе- |
||
ремещение, |
ч |
с |
равное единице; р2= — |
||
Решение дифференциального уравнения |
(4): |
|
У= а 51П (р/ 4- ф) |
|
(5) |
описывает гармонические колебания с амплитудой а и круговой часто
той р. Закон движения |
показан на рис. 1, а, а фазовая диаграмма — |
|
на рис. 4. |
|
|
Амплитуду колебаний а и начальную фазу ф определяют по формулам |
||
« = ] / |
»о + - ^ - ; |
Ф = агс1ё ^ . |
Соответственно решение (5) может быть записано в виде |
||
У= УоСОЗ рх |
5Ш р1. |
|
Круговая частота колебаний определяется инерционны выми свойствами системы
и называется собственной частотой колебаний. Для одномассовых систем (подобных схемам /, 3, 4 табл. 5) в формуле (6) т — масса груза; с — коэффициент жесткости упругой связи. Для систем типа 3, 4 табл. 5 вместо формулы (6) можно пользоваться формулой
где !ст — статическое смещение груза под действием силы тяжести.