Материал: Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3

Колебания линейных систем с одной степенью свободы

247

При (О= р {резонанс) решение имеет вид

у = — Щр- <о( соз соЛ

(44)

В этом случае происходит раскачка колебаний, причем амплитуда

возрастает по линейному закону

(рис. 11).

амплитуда

—

Если

возмущаю­

щей силы (37) пропорциональна

квадрату

ее частоты

Р0 = аша,

(45)

нических составляющих

Р = Рг 51П (о)^ + ах) + Рг 51П (ш2/ + а 2),

(52)

СОх Н- ш2

(53)

~

2

Амплитуда колебаний меняется от минимального значения

апип —

(54)

до максимальн

атах —

(55)

Период биений, т. е. время, проходящее между моментами достиже­

ния последовательных максимумов амплитуды, будет

Та

2л

(56)

| «о, — <в2 1

Действие произвольной периодической возмущающей силы

(см.

рис. 2, в)

Р ( / + Г )

(57)

Р(/) =

.

ал С08 <*>/ +

Ьх 51П й)

5- >8[2<й/ +

+

Ь2 51П 2(й<

.

1

(60)

+

Резонанс наступает при лю =

р,

где п — любое целое число.

С п о с о б Д у ф ф и н г а .

Вычисляют коэффициенты

г

т

с0 = ^

Р (т) сое рт ёх;

$0 = ^ Р (т) з т рт ёх,

(61)

с помощью которых решение записывают в виде

У(О

1

(с о С * е -^ -+

*»)соз р1 —

2тр

— ^с0 — а0

$1п

2 | Р (т) 51а р (( — т) ёх

(62)

Решение (62) справедливо

при 0 <• / <

Т и

повторяется

во

всех

последующих периодах.

В табл. 13 приведены некоторые частные решения, полученные при

помощи решения

(62).

Системы с вязким трением. Дифференциальное уравнение движения

при силовом возмущении можно привести к виду

*пу+ку + су=Р Ц)

или

у 4 -

2 +

=

ш

(63)

При кинематическом возмущении уравнение имеет тот же вид

(см.

соотношение (35) (. При нулевых начальных условиях (у0 — 0;

о0 = 0)

общее решение дифференциального уравнения (63) имеет вид

г

У=

| Р (т)а_Л (*“ т) 5*п р* 0 — т) ёх;

(64)

где

* о

р , =

1 /У - ч * .

(65)

В частном случае гармонического возмущения (37) стационарная

часть решения будет

у =

а з!п (<о( — у),

(66)

где