Материал: Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3

258 Основы теории колебаний механических систем

/г— п-1

Результаты вычислений коэффициентов при у — д 2 для различ­

ных значений л даны в табл. 16. Приведенные в табл. 16 точные значения ф (л) вычислены по формуле для случая 3 в табл. 14.

В случае несимметричной упругой характеристики следует учиты­ вать, что отклонения системы в обе стороны от положения равновесия

(центр колебаний) смещено влево от начала координат на отрезок

Частоту свободных колебаний определяют по приближенной формуле

(по способу прямой линеаризации), или 2я

(первое приближение по способу Бубнова-Галеркина или Кры Богомолова).

Вынужденные колебания систем без трения. Дифференциальное уравнение колебаний приводится к виду

где Р (/) — возмущающая сила (или приведенное кинематическое воз­ мущение — см. формулу (35)]. Точное решение этого уравнения затруд­ нительно. В случае гармонического возмущения

циальному уравнению (88) только в положении равновесия и в крайних

отклоненных положениях системы, то для определения а получи нелинейное алгебраическое уравнение

Типичная зависимость а = а (<о) (амплитудно-частотная характе­ ристика) для случая жесткой упругой характеристики при некотором фиксированном значении амплитуды возмущающей силы показана на рис. 18, а. Здесь же штриховой линией изображена скелетная кривая —

260 Основы теории колебаний механических систем

зависимость а (р) для задачи о свободных колебаниях (т. е. при Р 0= 0); с уменьшением амплитуды Р0возмущающей силы обе ветви амплитудночастотной характеристики приближаются к скелетной кривой.

При достаточно больших значениях частоты возмущения со решение неоднозначно: данной частоте со соответствует три значения амплитуды а колебаний. Устойчивыми являются колебания с наибольшей или наи­ меньшей амплитудой, колебания с промежуточным значением ампли­ туды неустойчивы и в действительности не реализуются.

свойств вынужденных колебаний механических систем являются рез­ кие изменения амплитуды («срывы») при малых изменениях частоты возмущения, как это видно из рис. 18, б.

Амплитудно-частотная характеристика, типичная для систем с м кой нелинейностью, изображена на рис. 19.

Уравнениями (91)—(93) можно пользоваться и в случае, когда

В этом случае амплитудно-частотная характеристика а (со) имеет более сложный вид, чем показано на рис. 19 или 20.

<*)

Р и с. 20

При действии возмущающей силы (89) на нелинейную систему коле­ бания с частотой возмущения © сопровождаются ультрагармониче-

скими колебаниями, имеющими более высокие частоты 2©, 3©,

а также субгармоническими колебаниями с частотами —■©, -^- ©,

2 о

Для определения амплитуд ультра- и субгармонических колебаний необходимо отказаться от описания колебаний законом (90) и строить высшие приближения. В частности, это можно сделать при помощи метода Бубнова-Галеркина, приняв выражение установившегося про­ цесса вынужденных колебаний в виде суммы

Амплитуды ультрагармонических колебаний в случаях слабой нелинейности малы по сравнению с амплитудой основной гармоники. Амплитуды субгармонических колебаний иногда могут быть весьма значительными, но эти колебания могут быть полностью подавлены демпфирующим действием достаточно больших сил трения.

В случае действия возмущающей силы, состоящей из двух гармон

Р = Рх51П < 0 -\~Р 2 5Й1 00а/,

на систему с нелинейной характеристикой

Р (у) = су + V!/3

приближенное решение имеет вид

У = а1 з т по>]/ + а2 з т соа/.

Амплитуды а1 и а2 определяют из нелинейной системы уравнений:

=____________ Рг_____________ .

________________ Р з________________

(р2- ш 1 ) + - | - | - ( а2 + 2а?)

Влияние вязкого сопротивления. Для решения дифференциального уравнения вынужденных колебаний системы с нелинейной упругой характеристикой и вязким сопротивлением

(случай действия гармонического возмущения) в первом приближении принимают, что движение описывается законом

/ [ 1- -й)Т+т2р* (а)