272 Основы теории колебаний механических систем
Числа сць = аы называют инерционными коэффициентами.
В задачах о свободных колебаниях упругих систем без демпфирова ния обобщенные силы <3к выражают через потенциальную энергию П системы
<?* = |
- - Ц |
г |
(* = 1. 2, .... л); |
|
(140) |
причем потенциальная |
энергия |
системы |
|
|
|
1 |
” |
ЪЫПЧк У, * = 1, 2, ... |
, п) |
(141) |
|
Л = -я- |
2 |
|
|||
*, к=\
является квадратичной |
функцией |
обобщенных координат. |
Числа |
|
од = сы называют упругими коэффициентами. Соответственно |
диффе |
|||
ренциальные уравнения |
движения |
(138) принимают вид |
|
|
аи Я г + а 12Я г + • ■*~Ьа\пЯп — |
|
|||
= —си Я \ —с\гЯъ — 444 — СщЯги |
|
|||
а ч\Я\ + а 22Я2 4" 4444~а т Я п = |
(142) |
|||
= —С2\Я\ -^2273 - *• 4- С2 пЯп\ |
||||
|
||||
аП\Я\ 4" а.пгЯг |
ОппЯп — |
|
||
—СГЦЯ\ - СП2Яй - 4 **- СппЯп‘
Простым линейным преобразованием координат одну из квадратич
ных форм — кинетическую или |
потенциальную |
энергию — можно |
||
привести к сумме квадратов. |
|
|
|
|
Если к сумме квадратов приведена кинетическая энергия, т. е. |
||||
|
1 |
п |
|
(143) |
т -----к- Ц акЧЬ |
||||
|
г |
к=1 |
|
|
. |
|
я |
ЪЫЖЯь |
|
1 |
2 |
(144) |
||
<. |
к= 1 |
|
|
|
то система (142) переходит в систему дифференциальных уравнений,
разрешенных относительно обобщенных |
ускорений: |
|
а\Я1------СиЯ1 С12^2 |
444 — С1пЯп» |
|
агЯг = сг\Ях — ^22^2 — 4 44— СгпЯп\ |
(145) |
|
|
|
|
апЯп — — стЯ1 — стЯг |
сппЯп' |
|
Колебания систем с несколькими степенями свободы |
273 |
Это прямая форма дифференциальных уравнений колебаний. Если
в сумме квадратов приведена потенциальная энергия, т. е. |
|
|||
1 |
** |
|
|
|
Т = -о- 2 а и Д Щ к ' |
|
|||
* I, й= 1 |
(146) |
|||
1 |
П |
о |
||
|
||||
л = 4 - 2 |
№ |
|
||
^ Л=1
то система (142) переходит в систему уравнений, разрешенных относи тельно обобщенных координат:
С1<71 — — ап <7! — |
— • • • — ОщЧп\ |
|
С2?2 = |
°22<72 — * * * — с2 пЯп\ |
(147) |
спЧп — агпЯ\ |
атЯ2 — • • • — аппЧп |
|
и представляет собой обратную форму дифференциальных уравнений колебаний.
К прямой форме дифференциальных уравнений движения можно прийти, непосредственно пользуясь вторым законом Ньютона для выде ленных из системы материальных точек; выражая силы упругости через перемещения, можно записать
п |
|
|
|
пщ + 2 |
г^Ук = 0, |
(148) |
|
где Ш1 — /'-я сосредоточенная масса; |
У1 |
— ее перемещение; |
г& — бди- |
ничная реакция (понятие, используемое |
в методе перемещений). Если |
||
кроме сосредоточенных масс механическая система включает в себя также твердые тела, то углы поворота этих тел также можно обозначить через У1 , в этих случаях под т ; понимают моменты инерции относительно осей, вокруг которых происходят повороты у^. Суммы, находящиеся в каждом из уравнений (148), представляют собой взятые с обратным
знаком силы, действующие на каждую массу /л,-, во многих |
задачах эти |
силы легко определяют непосредственно, без вычислений |
как это |
можно проследить на примере 7.
Обратную форму дифференциальных уравнений можно также полу чить непосредственно из линейных соотношений строительной механики
(< = 1.2........ |
«). |
(149) |
к=1 |
|
|
записываемых для безмассового упругого каркаса системы. Здесь 6/* — единичное перемещение (понятие, используемое в методе сил)', Рь — сила, действующая по к-щ направлению.
В задачах о свободных колебаниях Рк — —пгкУк и из соотноше ния (149) получаем следующую систему дифференциальных уравнений движения:
/I |
(150) |
У1-}- ^ дц<гпкУк —О* |
|
к= 1 |
|
|
Колебания систем с несколькими степенями свободы |
275 |
|||
В |
принципе всегда можно |
найти такие |
обобщенные координаты |
||
61. |
.......... ^л. связанные с координатами |
<72, . . дп линейными |
|||
соотношениями |
|
|
|
|
|
|
|
л |
|
|
|
|
71= |
2 |
Ь1к\к\ |
|
|
|
|
к= 1 |
|
|
|
|
|
п |
ьгьЫ |
|
|
|
<?2 = |
2 |
|
(154) |
|
|
|
к = |
1 |
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
Яп = |
^ |
|
|
|
А= 1
чтобы выражения кинетической и потенциальной энергии были при ведены к суммам квадратов
г - 4 |
- Ё |
й: |
^ |
к= 1 |
(155) |
|
|
|
я - 4г 2к=1 |
К й - |
|
При этом дифференциальные уравнения движения приобретают осо
бенно простую |
форму |
|
|
|
|
1 + |
Я1| , = |
0; ' |
|
|
1а + |
^2^2 = |
О» |
(156) |
|
|
|
|
|
|
^л + |
^л^л = |
0. |
|
Координаты |
называют нормальными координатами. |
|
||
Составление частотного уравнения. Эквивалентные одна другой си стемы дифференциальных уравнений (142), (145) или (147) имеют частные решения:
?! = А * |
(р * < + ф*); |
|
Ь = |
81п (рк( + ф*,); |
(157) |
|
|
ч'п = Апк 5Ш (рк1+ ф*),
описывающие гармонические колебания с частотой рк>Для определе ния рк служит уравнение частот, форма которого зависит от способа,