276 Основы теории колебаний механических систем
избранного для составления дифференциальных уравнений |
дви |
|||||
жения: |
использовании |
уравнений Лагранжа |
|
|
||
при |
|
|
||||
|
ацра — Сц; |
Д12Р2 |
<Т2, |
атР“— Сщ |
|
|
|
аг\Р2— сп 1 |
а^^р1 |
с22, |
а 2п Р 2 — С2п |
|
|
|
|
|
|
= |
0; |
(158) |
|
атР“ — Спи |
а пчР |
спг> • ■ |
ОппР2~ Спп |
|
|
при использовании |
прямой формы |
|
|
|
||
|
ЩРг ~ гц\ |
— Г12; . |
— Г1П |
|
|
|
|
— Ъй |
^гР3 — г22» |
— Г2,П |
|
|
|
|
|
|
|
= |
0; |
(159) |
|
— Гпи |
— сл2; |
тпр2 — гпп |
|
|
|
при |
использовании |
обратной формы |
|
|
|
|
|
I — /П1ви р2; |
— т 26 12р2; |
— тпЬтР* |
|
|
|
|
— /М ы р8; |
1 —/п2622р2; ... ; |
— тп62„р2 |
|
|
|
|
|
|
|
= |
0. |
(160) |
|
— т^бщр2; |
— /п26Л2ра; . . .; |
1 — тпЬппр* |
|
|
|
Все корни Рр Р2, . |
., р^ частотного уравнения вещественны и не |
|||||
отрицательны. |
|
|
|
|
|
|
Собственные формы. Каждому значению р\ соответствует система |
||||||
соотношений между амплитудами |
|
|
|
|||
|
Агк . |
А^к |
. |
|
(161) |
|
|
А\к ' |
|
А1к * |
|
||
|
|
|
|
|||
определяющая собственную форму колебаний. Эти соотношения полу чают из дифференциальных уравнений движения, если в них подставить частные решения (157). Так, при прямом способе составления уравнений
задачи из выражений |
(148) |
и (157) |
получаем |
|
- |
+ 2 |
ГйА , = |
0 (з. ‘ = 1, 2.........л). |
(162) |
к=1
Среди л уравнений (162) независимыми являются только п — 1 уравнений: последние и определяют систему соотношений (161).
Собственная форма характеризует лишь конфигурацию механиче ской системы при ее моногармонических колебаниях и масштаб для пе ремещений может быть выбран произвольно. Иногда бывает удобным придать полную определенность каждой из собственных форм колеба
278 Основы теории колебаний механических систем
отсюда |
|
|
+ С» |
Р1- |
|
|
|
|
|
|
|
- = |
0; |
|
|
||
2 |
+ ^ |
) |
±/ т |
|
|
|
СгС2 |
|
01,2 = т ( ^ 7 |
( ^ |
- + ^ |
) 2 |
г п 1т |
2 |
|||
Если, например, |
сх = |
ся и тг = |
|
|
|
|
|
|
^____У/ |
|
^ |
У? |
|
|
|
|
|
|
|
I |
т7 |
кончателыю |
|
|
|
|
5 -АЛ М Ц ^ > АМ г{ |
|
|
Р»= 0,618 1/ |
— |
; |
|||
|
|
1 |
У т |
|
||||
В этом случае уравнения (153) имеют вид: при < = I
- "М15Р* + [(*, + с2) И15 - с,/!.*] = 0;
при * «= 2
— т А 2$р \ + [“ с2/415 + с2/12а] = °*
Первое из этих уравненнй дает
|
|
|
^2$ |
„ |
т Р ] |
|
|
|
|
|
^ 1» |
|
« |
’ |
|
т. е. собственные формы колебаний определяются отношениями |
|||||||
|
^ 1 1 -= |
1,62; |
|
-4 ^ - = — 0.613. |
|||
|
Лц |
|
|
|
А и |
|
|
Те же результаты можно найти и из второго уравнения (170). |
|||||||
Для нормирования |
первой |
собственной |
формы по условию (164) имеем |
||||
|
|
ш^ |
2 |
+ |
0 |
|
|
|
|
ц |
^2А21 = 1§ |
||||
подставляя |
сюда 4 *1 ~ |
1>62 и т1 = т1, находим |
|||||
|
л и |
|
|
0|618 |
|
|
|
|
|
|
|
аг1 = -— |
|||
|
|
|
|
УШ : |
Vт |
||
Для нормирования |
второй собственной формы по условию (164) имеем |
||||||
|
|
Ш1‘Л12 + //,2'422= |
11 |
||||
и так как |
А1г = — 0.618, то |
1,27 |
|
|
0,785 |
||
|
ДИ = |
г— ; |
0*8= -----— - |
||||
|
|
|
Ут |
• |
|
У7п |
|
Влияние инерции вращения твердых тел на собственные частоты одно- и многомассовых систем. Если входящие в упругую систему массы обладают значительной инерцией вращения, то остаются справедливыми дифференциальные уравнения свободных колебаний (148) и (150),
280 Основы теории колебаний механических систем
отсюда следует частотное уравнение
1 — "»бп р | |
—тр2612р^ |
|
||||
— трЧп р1 |
1 — тр2й22р2 |
|||||
соответствующее равенству |
(160). |
|
|
|
|
|
Подставляя в частотное уравнение указанные выше выражения единичных |
||||||
перемещений, находим |
|
|
|
|
|
|
2 _ ^Е ^ |
( |
Р |
, |
л/~ |
I* |
, |
^1 .2 — ,„/■ |
^ |
+ Зр* * |
V |
9 р 4 |
+ Зр* + V * |
|
Отсюда следуют приближенные (для ( > р) выражения для собственных частот колебаний
Для определения собственных форм можно воспользоваться любым из уравнений (171). Так, нз первого уравнения находим
|
А2к |
1~ тЛПрк |
|
А\к |
тр2(>12рк |
после подстановки найденных собственных частот получаем |
||
_ |
I |
Да» ^ |
|
/*-Зр* |
~ Зр* ’ |
эти формы показаны на рис. 30, в.
Влияние вязкого сопротивления на свободные колебания. Если меха ническая система содержит г? элементов вязкого трения, направления действия которых / = 1, 2, . . . . 5, то дифференциальные уравнения движения системы в обратной форме имеют вид
0*+ 2 п1кЯк&ск-\~ |
( ^ 2) |
к= 1 |
/=1 |
где ку — коэффициент сопротивления |
/-го элемента трения. |
Если каждое из направлений у совпадает с каким-либо из направле ний к (т. е. если все элементы трения присоединены к массам системы), то число уравнений (172) равно п. Если же имеются такие элементы трения, которые создают силу сопротивления, не приложенную непо средственно ни к одной из масс системы, то уравнение (172) следует составлять также для направлений действия этих сил, при этом каждый из таких элементов трения увеличивает число степеней свободы системы на ,/а (см. табл. 7).
Решение системы дифференциальных уравнений движения (172) обнаруживает затухающий характер колебательного процесса системы, но при умеренном демпфировании частоты колебаний незначительно отличаются от собственных частот недемпфированной системы.
Как правило, дифференциальные уравнения движения не допускают разделения на независимые уравнения для каждой из собственных форм. Такое разделение становится возможным лишь в некоторых особенных