26 |
Устойчивость стержней |
Образуя затем обе частные производные -щ— н -щ— и приравнивая их нулю, придем к следующей однородной системе двух .алгебраических уравне
ний относительно параметров |
и |
Для того чтобы оба параметра одновременно не обращались в нуль, необ ходимо, чтобы нулю равнялся определитель, составленный из'коэффициентов полученной системы:
Е ^ - |
Р1г |
2ЕЛ* — |
2Р11 |
|
|
|
3 |
|
Б |
0. |
|
Е ^ - |
Р12 |
18 ЕЛ* |
2Р1* |
||
|
|||||
|
5 |
|
7 |
|
Развертывая этот определитель, приходим к квадратному уравнению для критической силы
Наименьший корень этого уравнения
= 2,50 Iя
всего на 1,2% отличается от известного точного значения критической силы. При учете трех членов ряда
V= / 12>+ Тгг* + Л»г°
ошибка оказывается равной всего 0,4%.
Для определения критической нагрузки можно также использо вать интегральные уравнения, приведенные в работе [1].
Ниже приведены некоторые частные результаты, полученные путем точного интегрирования дифференциального уравнения задачи.
В табл. 12—16 приведены значения коэффициента т] Для определения критической силы по формуле (И) для стержней переменной жесткости,
которая изменяется вдоль оси по |
закону |
|
^ (г) = / 0 |
(а + Ьг)п. |
(29) |
В таблицах обозначено: ^ — наибольший момент инерции попереч ного сечения; — наименьший момент инерции поперечного сечения. Оба момента инерции определяют относительно оси, перпендикулярной к плоскости потери устойчивости.
Показатель степени п принят равным целым числам.
Случай п = 1 соответствует сплошному |
стержню прямоугольного |
||
поперечного сечения |
постоянной |
высоты; |
ширина сечения меняется |
по линейному закону. |
Случай я = |
2 с достаточной точностью соответ |
|
ствует пирамидальному стержню, составленному из четырех угловых поясов, соединенных решеткой (или обшитых тонкими листами). Случай
п= 3 соответствует стержню прямоугольного сечения постоянной ширины, когда высота сечения меняется по линейному закону. Случай
п= 4 соответствует сплошному пирамидальному (коническому) стержню.
|
|
Упругие стержни на жестких опорах |
|
27 |
|||||||
|
|
|
|
12. |
Значения |
коэффициента |
т] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Показатель степени п |
||||
|
|
Схема |
|
|
|
|
|
в формуле (29) |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 3 |
1 4 |
||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|||
|
|
|
|
|
|
0 |
3,07 |
0,25 |
|
__ |
— |
ч-ь |
|
|
|
|
0,1 |
4,67 |
3,59 |
|
3,24 |
3,12 |
|
Шарнирно опертый |
0,2 |
5,41 |
4,73 |
|
4,52 |
4,41 |
|||||
1 |
4 |
0,4 |
6,78 |
6,39 |
|
6,28 |
6,24 |
||||
стержень, состоящий |
|
||||||||||
1 |
-1 |
из одного |
участка |
0,6 |
7,78 |
7,70 |
|
7,64 |
7,64 |
||
1и |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
0,8 |
8,85 |
8,83 |
|
8,83 |
8,83 |
||
|
|
|
|
|
|
1,0 |
я 2 |
я 2 |
|
я 2 |
я* |
ч |
|
|
|
|
|
0,1 |
_ |
14,39 |
|
13,70 |
13,30 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
г |
Стержень, |
симметрич |
0,2 |
20,35 |
18,93 |
|
18,49 |
18,23 |
|||
|
0,4 |
26,16 |
25,54 |
|
25,34 |
25,23 |
|||||
|
1 |
ный |
относительно |
|
|||||||
]- |
середины, |
заделан |
|
|
|
|
|
|
|||
7 |
ный на |
концах |
|
0,6 |
31,03 |
30,79 |
|
30,71 |
30,68 |
||
«иггд'• |
|
|
|
|
0,8 |
35,42 |
35,35 |
|
35,33 |
35,32 |
|
|
|
|
|
1,0 |
4л* |
4л* |
|
4Я2 |
4л2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
13. |
Значения коэффициента Т1 для симметричного относительно |
|
||||||||
середины шарнирно |
опертого стержни, состоящего |
из двух |
участков |
||||||||
|
|
|
|
|
Показатель степени п в формуле (29) |
||||||
|
Схема |
|
^ 1 . ^ |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
0,5 |
1,0 |
1,5 |
2,0 |
|
3,0 |
4,0 |
|
|
|
|
0 |
|
5,78 |
|
1,00 |
|
|
|
|
л Й |
|
0,1 |
7,86 |
6,48 |
5,78 |
5,40 |
|
5,01 |
4,81 |
|
|
|
0,2 |
7,97 |
7,01 |
6,58 |
6,37 |
|
6,14 |
6,02 |
||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
1 |
|
0,4 |
8,31 |
7,87 |
7,69 |
7,61 |
|
7,52 |
7,48 |
|
|
|
0,6 |
8,76 |
8,61 |
8,54 |
8,51 |
|
8,50 |
8,47 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
0,8 |
9,30 |
9,27 |
9,25 |
9,24 |
|
9,23 |
9,23 |
|
|
|
|
1 |
я 2 |
Я2 |
Я2 |
Я2 |
|
Я* |
я 2 |
28 |
Усиюйчивусть стержней |
|
|
|||
И. Значения |
коэффициента |
я для стержня, |
показанного на |
рис. б |
||
^ х : ^ |
|
а : 1 |
|
|
|
|
0,2 |
0.4 |
0,6 |
0.8 |
п |
||
0 |
||||||
Шарнирно опертый стержень (рис. б1, а)
0 |
5,78 |
7,04 |
8,35 |
9,36 |
9,80 |
1 |
|
1,00 |
1,56 |
2,78 |
6,25 |
9,59 |
2 |
0,01 |
5,87 |
7,11 |
8,40 |
9,40 |
9,80 |
2 |
3,45 |
4,73 |
6,58 |
8,61 |
9,71 |
||
|
2,55 |
3,65 |
5,42 |
7,99 |
9,63 |
3 |
|
2,15 |
3,13 |
4,84 |
7,53 |
9,56 |
4 |
|
6,48 |
7,58 |
8,63 |
9,46 |
9,82 |
1 |
0,10 |
5,40 |
6,67 |
8,08 |
9,25 |
9,79 |
2 |
5,01 |
6,32 |
7,84 |
9,14 |
9,77 |
3 |
|
|
4,81 |
6,11 |
7,68 |
9,10 |
9,77 |
4 |
0,20 |
7,01 |
7,99 |
8,90 |
9,73 |
9,82 |
1 |
6,37 |
7,49 |
8,61 |
9,44 |
9,81 |
2 |
|
|
6,14 |
7,31 |
8,49 |
9,39 |
9,81 |
3 |
|
6,02 |
7,20 |
8,42 |
9,38 |
9,80 |
4 |
0,40 |
7,87 |
8,59 |
9,19 |
9,70 |
9,85 |
1 |
7,61 |
8,42 |
9,15 |
9,63 |
9,84 |
2 |
|
|
7,52 |
8,38 |
9,10 |
9,62 |
9,84 |
3 |
|
7,48 |
8,33 |
9,10 |
9,62 |
9,84 |
4 |
0,60 |
8,61 |
9,12 |
9,55 |
9,76 |
9,85 |
1 |
8,51 |
9,04 |
9,48 |
9,74 |
9,85 |
2 |
|
|
8,50 |
9,02 |
9,46 |
9,74 |
9,85 |
3 |
|
8,47 |
9,01 |
9,45 |
9,74 |
9,83 |
4 |
|
9,27 |
9,53 |
9,69 |
9,82 |
9,86 |
1 |
0,80 |
9,24 |
9,50 |
9,69 |
9,82 |
9,86 |
2 |
9,23 |
9,50 |
9,69 |
9,81 |
9,86 |
3 |
|
|
9,23 |
9,49 |
9,69 |
9,81 |
9,86 |
4 |
Стержень с заделанными концами (рнс . 5, б)
|
20,36 |
22,36 |
23,42 |
25,55 |
29,00 |
1 |
0,2 |
18,94 |
22,25 |
22,91 |
24,29 |
27,67 |
2 |
18,48 |
20,88 |
22,64 |
23,96 |
27,24 |
3 |
|
|
18,23 |
20,71 |
22,49 |
23,80 |
27,03 |
4 |
|
26,16 |
27,80 |
28,96 |
30,20 |
33,08 |
1 |
0,4 |
25,54 |
27,35 |
28,52 |
29,69 |
32,59 |
2 |
25,32 |
27,20 |
28,40 |
29,52 |
32,44 |
3 |
|
|
25,23 |
27,13 |
28,33 |
29,46 |
32,35 |
4 |
|
31,04 |
32,20 |
32,92 |
33,80 |
35,80 |
, |
0,60 |
30,79 |
32,02 |
32,77 |
33,63 |
35,64 |
2 |
30,72 |
31,96 |
32,72 |
33,56 |
35,60 |
3 |
|
|
30,68 |
31,94 |
32,69 |
33,54 |
35,56 |
4 |
|
35,40 |
36,00 |
36,36 |
36,84 |
37,84 |
1 |
0,80 |
35,35 |
35,97 |
36,34 |
36,80 |
37,81 |
2 |
35,33 |
35,96 |
36,32 |
36,80 |
37,80 |
3 |
|
|
35,32 |
35,96 |
36,32 |
36,78 |
37,80 |
4 |
Упругие стержни на жестких опорах |
29 |
Коэффициенты г\ для нагружения стержня, состоящего из трех участков (рис. 5), приведены в табл. 14; участок стержня имеет постоян-
Ьтт П |
|
|
|
,__р |
и ■* |
1 |
о. |
7777 |
|
I й- |
г* |
И |
||
--------------------- |
г — ----------------- |
|
г — |
|
|
о) |
|
6) |
|
|
Рис. 5 |
|
|
|
ное поперечное сечение с моментом инерции |
|
а два остальных участка |
||
симметричны и имеют переменное поперечное сечение, момент инер ции которого меняется по закону (29).
Стержни с непрерывным изменением жесткости под действием распределенной нагрузки
Консольный стержень переменной жесткости, когда момент инерции меняется по закону
(30)
где У о — момент инерции сечения в заделке, рассчитывают в следующем порядке. Принято, что интенсивность осевой продольной нагрузки следует зависимости
Ч= <?о ( |
* У . |
(30а) |
причем <70 — интенсивность нагрузки в сечешш 2 = 0. Показатель степени к принимают к = 0, 1, 2, 3, 4, 5 (рис. 6). Критическое значение суммарной нагрузки определяют по формуле
I
Ркр= | ЧкрАг = *] |
(31> |
о
Значения коэффициента т| приведены в табл. 16.
Многопролетные стержни (неразрезные балки)
Критическую силу определяют по формуле
п _ |
Я-’^пИп |
’ |
(32) |
кр~ |
|
||
|
|
где — длина одного из пролетов стержня; коэффициент р берут по графикам на рис. 7—16, предварительно вычислив вспомогательные параметры по формулам табл. 16.
30 |
Устойчивость стержней |
I
Рис. 7
Рис. 8