Глава 2
УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАСТИНОК
УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАСТИНОК В ПРЕДЕЛАХ УПРУГОСТИ
ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ПЛАСТИНКИ
Общие сведения
Как и в случае стержней, при определении критических нагрузок на пластинку исследуют формы равновесия, бесконечно близкие к на чальному состоянию; при этом можно считать, что дополнительные напряжения в срединной поверхности пластинки, появляющиеся при выпучивании, малы по сравнению с изгибными напряжениями. Так как при решении бифуркационных задач внешнюю поперечную нагрузку не учитывают, то для получения диЭДяренциалыюго уравнения выпу
ченной |
поверхности |
необходимо |
|
|
|
|||
в уравнении теории жестких пла |
|
|
|
|||||
стинок |
[см. т. |
1, |
гл. 17, уравнение |
|
|
|
||
(19)] принять |
<7=0. Одновременно |
|
|
|
||||
при исследовании смежных состоя |
|
|
|
|||||
ний изгиба необходимо учесть про |
|
|
|
|||||
екции |
повернутых внутренних уси |
|
|
|
||||
лий, показанных на рис. 1, где изоб |
|
|
|
|||||
ражен |
элемент |
пластинки |
йх йу |
|
|
|
||
в изогнутом состоянии. |
|
|
|
|
|
|||
Нормальные усилия ох, Су счи |
|
|
|
|||||
тают положительными |
при сжатии, |
Рис. |
1 |
|
||||
касательные усилия т считают поло |
рис. |
1. |
Определяя |
|||||
жительными, если их направления соответствуют |
||||||||
сумму проекций усилий в срединной поверхности |
на ось г и вводя |
|||||||
эту величину в правую |
часть |
уравнения теории |
жестких |
пластинок |
||||
[см. т. 1, гл. 17, уравнение (19)], получим |
|
|
||||||
Вместо уравнения (24) гл. |
17 т. |
1 получим следующее окончательное |
||||||
соотношение (уравнение устойчивости) [1 ]: |
|
|
||||||
В |
д2т |
+ 2х |
д2и) |
д~ьи |
|
(2) |
||
~ ^ |
+ <Ух-ш |
|
дх ду |
+ 0 у ' щ ? |
= 0 - |
|||
|
|
|
|
|
|
|||
Для определения критических усилий используют дифференциаль ное уравнение (2) с учетом заданных граничных условий (о граничных условиях см. т. 1, гл. 17).
09 |
Устойчивость пластинок |
|
1акое решение в замкнутой форме чаще всего невыполнимо (кроме простейших случаев). Поэтому при решении задач устойчивости пласти нок используют энергетический метод. Для этого в выражения для энергии изгиба V и работы внешних сил ХР [1 ]
г
подставляют «подходящую» (удовлетворяющую граничным условиям) функцию ю = и) (х, у). Полная энергия системы определится как раз ность энергии изгиба и работы внешних сил:
Э = V — V?. |
(5) |
Критическому состоянию соответствует равенство нулю выраже ния (5); из этого условия можно найти критические комбинации краевых нагрузок.
Приведенные ниже формулы для расчета пластинок на устойчивость в упругой области справедливы при относительно малой толщине пластинки, при которой интенсивность напряжений сг* в любой точке пластинки, определяемая как для плоского напряженного состояния, меньше предела пропорциональности апц (считается, что предел пропор циональности равен пределу упругости)
О,- = У о\ — 0х0у + + Зт2< <Т„Ч.
Например, для удлиненной пластинки, сжатой вдоль длинной сто роны, при условии шарнирного закрепления краев, отношение ширины к толщине должно быть
Предельное значение |
для мягкой стали равно 60, для дуралю- |
мина — 36.
Ь
Если отношение — лежит ниже указанного предела, используют
п
результаты решения задач об устойчивости пластинок при пластиче ских деформациях.
Расчетные формулы
Для сжатой прямоугольной пластинки со сторонами а и Ь критиче ское напряжение будет
окр= К Ь^Ч,’ |
(6) |
где
й = |
ЕН3 |
(7) |
|
12 (1 — V2)*’ |
|||
|
Устойчивость пластинок в пределах упругости |
93 |
V — коэффициент Пуассона; /г — толщина пластинки; здесь и ниже тол щина считается постоянной. Значения коэффициента К зависят от спо соба закрепления краев пластинки. Используемые на схемах обозна чения способов закрепления краев пластинок показаны на рис. 2.
Значения коэффициента К приведены в табл. 1 и на рис. 3 [I].
I. Значения коэффициента К о формуле (0)
Величину критической силы для прямоугольной пластинки, шар нирно опертой по контуру и нагруженной сосредоточенными силами (рис. 4), определяют по формуле
Рцр =
94 |
Устойчивость пластинок |
|
|
||||
Коэффициент /\ |
имеет следующие значения: |
|
|
||||
■д-. |
0,5 |
|
0,75 |
1,0 |
1,5 |
2,0 |
3,0 |
К |
17,68 |
11,96 |
8,17 |
5,27 |
4,73 |
4,6 |
|
Для длинной пластинки |
(а > Ь) критические |
усилия |
находят по |
||||
|
|
|
|
формулам: |
|
||
7^777Т77777: --------------- ------------------- |
при шарнирном опирании |
||||||
длинных |
краев |
|
|||||
а> |
Щ |
|
в) |
|
|
4лО |
|
|
|
|
|
|
Рк р — |
5 - 1 |
|
Рис. 2. Обозначения способов закрепления |
при |
защемленных длин |
|||||
краев пластинок: а — защемленный край; |
|||||||
б — шарнирно опертый край; |
в—свобод |
ных |
краях |
|
|||
ный край
Критическое напряжение для прямоугольной пластинки при дей ствии нормальных усилий, изменяющихся по линейному закону ах =
Для пластинки, нагруженной касательными усилиями, критическое
касательное напряжение находят по формуле |
|
, пЮ |
(9) |
тКР= К ЬЧ |
|
|
Устойчивость пластинок в пределах упругости |
95 |
|||||||
|
|
2. Значения коэффициента К в формуле (8) |
|
|
|||||
|
|
|
У |
|
|
бв |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
V х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
\ |
X |
|
|
|
|
|
- -------а ------------ ► |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ь |
|
|
|
|
|
0,4 |
0,5 |
0,6 |
0,667 |
0,75 |
0,8 |
0,9 |
1,0 |
1,5 |
2 |
29.1 |
25,6 |
24,1 |
23,0 |
24,1 |
24,4 |
25,6 |
25,6 |
24,3 |
4 |
18.7 |
|
12,9 |
|
11,5 |
11,2 |
|
11,0 |
11,5 |
3 |
|
|
|
||||||
1 |
15.1 |
|
9,7 |
|
8,4 |
8, 1 |
|
7.8 |
8,4 |
4 |
13,3 |
|
8,3 |
|
7,1 |
6,9 |
|
6,6 |
7,1 |
5 |
|
|
|
||||||
2 |
10.8 |
|
7,1 |
|
6,1 |
6,0 |
|
5.8 |
6,1 |
3 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Значения коэффициента К приведены в табл. 3.
Для определения К можно также пользоваться приближенной
зависимостью |
|
|
|
|
|
|
|
|
* = 5 . 3 4 - Н ( А ) 2 |
|
( 10) |
||
где а — длинная |
|
сторона |
пластинки. |
|
|
|
3. |
Значения |
коэффициента К в формуле (0) |
|
|||
^ м и 9 9 |
X |
а |
К |
а |
к |
|
♦ |
|
т |
Т |
|||
|
|
|
|
|||
П11
1 |
* 1 |
1,0 |
9,34 |
1,8 |
6,64 |
|
|
1,1 |
8,47 |
2,0 |
6,47 |
|
|
1,2 |
7,97 |
3.0 |
6,04 |
|
|
1.3 |
7,57 |
5.0 |
5,71 |
У |
|
1.4 |
7,30 |
00 |
5,34 |
|
|
1,6 |
6,90 |
|
|
Значения коэффициента К в формуле (9) для пластинок, на ко торые действуют равномерно распределенные по всем кромкам ка
сательные усилия при других граничных условиях, приведены в табл. 4 [1].