96 |
|
Устойчивость пластинок |
|
|
4. Значения коэффициента К в формуле (9) |
||
|
|
|
— |
|
|
X |
|
|
\ |
|
/С Л 8,98 + 5 .6^ -|-у . |
|
■«а |
ц . |
|
|
|
где Ь — длина короткой стороны |
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
^ __ |
|
|
А |
1 |
|
Крн вал / но рис. 5 |
<1 |
!г |
||
I |
_____ |
|
|
|
^_ |
|
|
А5 |
\ |
|
Кривая 2 па рис. 5 |
■с» |
||г |
||
1; |
|
|
|
П л а с т и н к а , ш а р н и р н о з а к р е п л е н н а я по в с е м
к р а я м , |
п о д в е р г а е т с я о д н о в р е м е н н о м у с ж а т и ю |
в д в у х |
н а п р а в л е н и я х (рис. 6). |
П И Н Н 1
17Д
-с*
I -г
н и м и
X
■* их
|
|
|
и |
*» |
|
|
Рис. |
5 |
|
Рис. 6 |
|
||
|
|
|
||||
Обозначим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ох |
|
(П ) |
|
|
|
|
|
|
||
Критические напряжения |
|
|
|
|
||
Ох, кр |
я 2/) |
|
Оу, кр — 1Ку -ущ- |
— фОх, кр, |
(12; |
|
= Адг |
, |
|||||
|
||||||
Устойчивость пластинок в пределах упругости |
97 |
величину К х определяют по формуле [1] |
|
К |
т ) ‘ + * 1 ‘ |
(13) |
К х |
|
где т и п — числа полуволн в направлениях осей х и у соответственно.
Минимальные |
значения |
Кх в зави |
|
|
|
|
|
|
|||||
симости от А, и ф даны |
на рис. 7; здесь |
|
|
|
|
|
|
||||||
нанесены |
также |
значения |
т и п для |
|
|
|
|
|
У |
||||
отдельных |
ветвей. |
|
|
|
|
п л а с |
|
|
|
|
|
||
П р я м о у г о л ь н а я |
|
|
|
|
|
|
О |
||||||
т и н к а , з а щ е м л е н н а я п о в е е м |
|
|
|
|
|
||||||||
к р а я м , п о д в е р г а е т с я о д н о |
|
|
|
|
|
0,1 |
|||||||
в р е м е н н о с ж а т и ю в д в у х |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
н а п р а в л е н и я х |
(рис. |
8) [5]. |
|
|
|
|
|
0,1 |
|||||
Критические |
напряжения |
опреде |
|
|
|
|
|
0,3 |
|||||
ляют, исходя из следующей прибли |
|
|
|
|
|
||||||||
женной зависимости: |
4 |
лЮа? |
|
|
|
|
|
ОЛ |
|||||
( |
а2 |
\ |
|
|
|
|
|
|
ОЛ |
||||
{°* + - р ° у ) |
= - 3 -----л ~ Х |
|
|
|
|
|
|||||||
X |
|
|
+ |
|
|
(И) |
|
|
|
|
|
0,6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ОЛ |
||||
Если известно значение одного из |
|
|
|
|
|
1,0 |
|||||||
напряжений, то по формуле (14) нахо |
|
|
|
|
|
2,0 |
|||||||
дят значение второго напряжения. Фор |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
мула (14) дает хорошие результаты, |
|
|
|
|
|
|
|||||||
если пластинка по форме близка к квад |
|
|
|
|
|
|
|||||||
ратной и при условии, что напряже |
|
|
|
|
|
|
|||||||
ния ох и |
оу мало |
отличаются одно от |
|
|
|
|
|
|
|||||
другого. |
|
|
|
|
|
|
п л а с т и н к а , |
ш а р н и р н о |
з а - |
||||
П р я м о у г о л ь н а я |
|
||||||||||||
к р е п л е н н а я |
|
по к р а я м , п р и с о в м е с т н о м д е й |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
с т в и и |
у с и л и й |
с ж а т и я |
||||
|
|
|
|
|
|
|
( р а с т я ж е н и я ) , |
|
равномерно |
||||
* * |
* * * |
* |
* |
* |
* |
|
распределенных по |
|
краям |
х=0, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
х=а, и касательных усилий, рав |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
номерно распределенных |
по |
всем |
||||
|
|
|
|
|
|
|
сторонам |
пластинки |
|
(рис. |
9) |
[1 ]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Приближенная |
формула |
для |
||||
|
X |
|
|
|
|
|
определения критического |
напря |
|||||
|
|
|
|
|
|
жения имеет вид |
|
|
|
|
|||
|
( М М М |
|
&кр |
_ . ( |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
т*р |
V |
: 1 . |
(15) |
|||
|
Рис. |
8 |
|
|
|
°о, кр |
\ |
то, кр) |
|
|
|
||
|
|
|
|
где а0, кР |
и |
т 0, кр — критические |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
напряжения сжатия и сдвига при раздельном действии сжатия и сдвига. Если задано отношение окр/ткр или известна одна из этих вели чин, то по уравнению (15) находят значения критических напряжений.
98 |
Устойчивость пластинок |
В случае, если напряжения о являются растягивающими, перед первым членом в левой части уравнения (15) следует принять знак минус.
Приведем результаты уточненного, по сравнению с уравнением (15),
Значения Кс и Кх в зависимости от отношений сторон X = -у при
ведены в табл. 5; здесь знак минус перед Ко соответствует напряжениям растяжения. Уточненные зависимо сти в координатных осях Ко!Ко^ Кх!Кх.' о ДанЫ на рис. 10.
ж |
|
и |
и |
и |
а == 1 |
А, = 1.6 |
А — 3,2 |
|||
|
|
|
|
|
||||||
" II |
|
|
|
1 5 6* |
|
|
** |
*т |
|
|
А . |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
—1,0 |
10,57 |
-2,0 |
8,46 -1,0 |
7,45 |
||||
|
|
|
|
|
0 |
9,42 |
0 |
7,0 |
0 |
6,75 |
И |
М |
И |
М |
1 |
1.0 |
8,15 |
2.0 |
5,31 |
1,7 |
5,4 |
2,0 |
6,67 |
2,83 |
4,46 |
2,5 |
4,66 |
|||||
|
|
* |
|
|
3.0 |
4,72 |
3.6 |
2,95 |
3,0 |
4,14 |
|
|
|
|
3,6 |
3,02 |
3,9 |
2,09 |
3,7 |
3,29 |
|
|
|
|
|
|
4,0 |
0 |
4.2 |
0,06 |
4,017 |
2,19 |
|
|
Рис. И |
|
|
|
|
|
|
|
|
П р я м о у г о л ь н а я п л а с т и н к а , ш а р н и р н о о п е р
т а я п о к р а я м , |
п о д в е р г а е т с я |
с ж а т и ю ( р а с т я |
||
ж е н и ю ) в д в у х |
н а п р а в л е н и я х |
и |
с д в и г у (рис. |
11). |
Критические напряжения определяют исходя |
из зависимости |
[3] |
||
+'И ’ !
Устойчивость пластинок в пределах упругости |
99. |
||
где |
0.823Е / /I \* |
|
|
|
(18) |
||
С~~[— у2 \ Ь ) ; |
|||
|
|||
ох и Оу отрицательны при |
растяжении. |
|
|
П р я м о у г о л ь н а я |
п л а с т и н к а , у к о т о р о й в с е |
||
к р а я з а щ е м л е н ы , п о д в е р г а е т с я с ж а т и ю в д в у х н а п р а в л е н и я х и с д в и г у (направления координатных осей, как на рис. И). Зависимость для определения критических напряжений
имеет вид [3] |
|
|
|
*кр = |Л (2'311/ 4-^ |
+ |
Т - ^ |
г ) х |
х ( 2 , 3 1 1 / 4 - ^ |
+ 8 |
- ^ ) , |
(19) |
где величину с определяют по формуле (18). Напряжения ох и Су отри
цательны |
при |
растяжении. |
|
|
|||
П р я м о у г о л ь н а я |
|
|
|||||
п л а с т и н к а , ш а р н и р |
|
|
|||||
но о п е р т а я по к ра я м, |
|
|
|||||
п о д в е р г а е т с я |
д е й |
|
|
||||
с т в и ю к а с а т е л ь н ы х |
|
|
|||||
у с и л и й |
по всем |
к р а я м |
|
|
|||
и н о р м а л ь н ы х у с и |
|
|
|||||
л и й и з г и б а |
(рис. |
12). |
|
|
|||
Распределение |
|
нормальных |
|
|
|||
усилий |
по |
краям |
х — О, |
|
|
||
х — а отвечает уравнению |
|
|
|||||
Критические |
напряжения |
|
|
||||
|
|
|
|
|
лЮ |
лЮ |
(21) |
|
|
|
01, КР = |
Ко ЬУг |
Ь*Н |
||
|
|
|
|
||||
6. Коэффициенты К0 и Кх в формулах (21) для пластинки, подвергающейся одновременному действию изгиба и сдвига
|
Я = 1 |
|
II |
1 -4 |
|
|
|
|
|
||
«X |
*0 |
«X |
«а |
*х |
«о |
0 |
25,0 |
0 |
24,5 |
0 |
23,9 |
2 |
24,6 |
4 |
22,8 |
4 |
23,05 |
4 |
22,2 |
8 |
17,7 |
8 |
20,35 |
6 |
18.4 |
10 |
13,25 |
12 |
15,23 |
8 |
12.4 |
11 |
10,01 |
14 |
11,04 |
9 |
6,85 |
12 |
4,61 |
15 |
8,0 |
9,42 |
0 |
12,20 |
0 |
16,09 |
0 |
|
и <-« |
«X |
к о |
0 |
26,6 |
4 |
25,4 |
8 |
24,3 |
12 |
22,55 |
16 |
19,94 |
20 |
10,13 |
24 |
10,26 |
26 |
5,44 |
26,9 |
0 |
100 |
Устойчивость пластинок |
|
|
Коэффициенты Ка и Кх связаны приближенным соотношением |
|
|
( * ) |
' + ( & ) ■ - • |
где |
Ко. о> Кх%о — значения |
коэффициентов Ко и Кх при раздельном |
действии изгиба и сдвига. Уточненные значения Ка и Кх в зависимости
к г |
|
|
а |
|
|
от?1 = —г- даны в табл. 6 и на |
|
|
|
Р 3 |
о |
|
4«* |
рис. 13. |
|
0,8 |
> < |
Анизотропные и подкрепленные |
|
0,67} ' У / |
|||
|
|
|
пластинки |
0.6
^ 0,5
0,4-
|
и |
|
0,1 |
|
|
0 |
0,8 0,6 |
0,1 Кб |
|
Кб,о
Основные определения и соот ношения теории анизотропных пластинок рассмотрены в гл. 5 т. 2. Уравнение устойчивости для ортотропнон пластинки имеет вид
|
Рис. |
13 |
+ |
« |
|
|
|
||
При |
= 1)2 = |
^ з уравнение (23) переходит в уравнение |
(2). |
|
Для прямоугольной ортотропной пластинки, сжатой в одном на правлении, при шарнирном закреплении краев в уравнении (23) следует
принять |
( 7 ^ = т = 0 |
(направление координатных осей см. табл. 1). |
Приняв |
выражение |
для прогиба |
Ш= |
. |
. тлх . |
плу |
,0„. |
/ |
51П ------- 81П |
о |
(24) |
|
|
|
а |
|
|
(т, п — числа полуволн по направлениям осей |
у), из уравнения (23) |
|||
получим |
|
|
|
|
Для получения акР нужно в выражении (25) принять п — 1; путем варьирования числа т получается следующая зависимость для удлинен
ной пластинки (а > Ь): |
|
|
|
|
Ы \Г Щ Р ъ |
( |
Оз \ |
(26) |
|
V |
+ 7 Ш |
у |
||
|