Материал: Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Свободные колебания (точные исследования)

301

Схема

в

табл. 6

4

5

Продолжепне табл. 7

Собственная форма колсбаннЛ

X (ах) = (51 п а/ + зН а/) (сЬ ах — со$ ах) —

— (сЬ а1 + соз а/) (зЬ ах — $1л ах)

X (х) = (зЬ а/ + 51 п а.1) (сН. ах — с о б ах) —

— (сН а1+ соз аО (зЬ ах — з т ах)

X (х) = (сЬ а1— соз а1) (зЬ ах з(п ах) —

— ($Н а/ — 51п а/) (сЬ ах + со5 ах)

X (х) = (сИ о1 +со5 а1) (5Ь ах + 5т ах) —

—(зЬ а/ + з!л а/) (сИ ах + соз ах)

N.Условия сопряжения участков для балок со ступенчатым изменением

ссчсниН и сосредоточенными массами

Условия па общей границе смежных участков

Ступенчатое изменение по­ перечного сечения

2

Промежуточная опора

3

Промежуточная упругая опора

4

-------------• -------------

Сосредоточенная масса

-ч —

Юг. Л

Сосредоточенная масса с конечным моментом инер­ ции

Аналитические условия сопряжения

Х _ = Х + ; Х _ = х'^, (ЕЗХ") _= (Е^X")+ ^, (ЕЗ X")_= (ЕУХ")+

Х _ = Х + = 0; х ‘ = х'+ ;

^Е^X")_=(Е^X")+; (Е^X'а) _ = ^Е ^ X" )+ - К

Х_ = Х+\ Х_ = х'+;

{Е^ Х")_ = (ЕУХ")+;

{Е^X’^ ) _ = [Е^X'')+ + сX±

Х _ = А'+ ; Х _ =

(Е^X")_={Е^X•')+ \ ^Е^Xт) _ = ^Е^Xт) + — т5р^X

х _ = х +\ х ’ = х'^,

( ^ х ') _ = ( ы х ”) + + р2х +1

(ЕУХИ)_ *= <ЕУХМ)+ - т 8р«^±

302Свободные и вынужденные колебания стержней

9.Значении коэффициентов а/

Схема стержп

Г рафик

а I

I

0

5 0 Ш

ЕЗ

ог/

3

Длина балки 21; основной тон сим­ метричных колебаний

а1

5

Т

\

Основной тон симметричных коле­

О 10 20 30 Ь0

баний

 

Свободные колебания (точные исследования)

303

где п — номер пролета, совпадающий с номером правой опоры данного пролета. Если жесткость и интенсивность распределенной массы оди­ наковы во всех пролетах, то в уравнении (34) сокращаются все множи­

тели

.Если, кроме того, все пролеты имеют равные длины, то урав­

нение

(34) приобретает вид

 

 

Мп-Уп + 2Мп [ТпУп - ЗпУп) + М пчУм = 0.

(35)

Пример в. Составить уравнения частот двухпролетной балки с постоян­ ными жесткостью и интенсивностью распределенной массы, но с разными длинами пролетов /» и /8. В данном случае М0 = М2 = Оипо уравнению (35)

получаем

 

 

 

 

сН а /| -5]п а1, —

а I, со& а I,

с!г а /2 51 п а 13— зН а 13 соз а 13

2 5й а1{ $1п а/,

+

2 5й а/3 51п а/а

Так как М х + 0, то нулю должно равняться выражение, стоящее I скоб-

ках; это дает

 

+ сГд 1юс/2 =

с (д а /1 + с1&а/..

сЕд Иа/,

Например, при /, =

/*

наименьший

корень Ш = 1,78.

Влияние заданной продольной силы. Если стержень испытывает действие продольной силы N, то дифференциальное уравнение его сво­ бодных поперечных колебаний имеет вид

 

 

. д2у

I

N

д2о

 

(36)

ш

дх*

дГ2

1 ш

дх2

 

 

 

причем положительной считается сжимающая сила N.

 

Собственная форма колебаний определяется выражением

 

X СX) — СхзЬ Р*

С2сЬ Ра: Н- С3 зш уд: +

С4 соз ух,

(37)

где

 

______________________

 

я _

л ,

 

 

1 / 1 .

1

 

^

Е^ 1 /

2

+

V

4 *"

Л/3 ’

 

Г________________________ (38)

У ~ Е^ у

V

1

1

(Б/)2

2 т V

4

^

Л13 ‘

Величину а определяют по формуле (27). Собственные частоты р* шарнирно опертого стержня вычисляют по формуле

ь = п У 1+ш п> т>

<39>

в которой рь — к-я собственная частота при

N = 0.

 

Низшая собственная частота колебаний консольного стержня, на­

груженного на свободном конце сжимающей силой

 

' + - Ш Г -

(40>

Если консольный стержень нагружен равномерно распределенной

продольной нагрузкой, тонизшая собственная частота

колебаний

р! =р, У ' + - ш

-

(41)

304Свободные и вынужденные колебания стержней

Вформулах (40) и (41) — низшая собственная частота колебаний консольного стержня без продольной нагрузки.

Внекоторых случаях продольная сила возникает вследствие изгиба стержня и носит характер реакции. Это явление нелинейно по своему существу, и собственная частота зависит от амплитуды колебаний. Для стержня с шарнирно неподвижными опорами на концах к-ю собственную частоту колебаний находят по формуле

Рк=РкК>

(42)

где х — поправочный коэффициент, зависящий от отношения амплитуды колебаний а к радиусу инерции поперечного сечения р; значения х даны в табл. 10.

 

10. Знячсмил коэффициента х в формуле (42)

 

а

X

а

 

а

 

Р

~Р

 

Р

 

 

 

 

0

1

0,8

1,058

3

1,626

0,2

1,0008

1

1,089

4

1,976

1,0038

1,5

1,190

5

2,35

0,4

1,015

2

1,316

10

4,75

0,6

1,038

 

 

 

 

При

р -> 0 формула

(42) дает

неопределенное

значение

для р*,

так как р = 0 и х = со. После раскрытия неопределенности получается выражение для собственной частоты колебаний струны, начальное

натяжение которой равно

нулю:

____

=

4,17-^-

(43)

(если начальное натяжение велико по сравнению с его изменениями при колебаниях, следует пользоваться схемой 3 табл. 2).

Влияние сдвигов и инерции вращения. Это влияние особенно за­ метно при колебаниях стержней небольшой длины. Для шарнирно опертого стержня собственные частоты определяются формулой

 

___

(44)

где р1 =

1 / " -----низшая собственная

частота, вычисленная

без учета сдвигов и инерции вращения; К = —----- гибкость стержня;

Р — коэффициент, зависящий от формы поперечного сечения (для прямоугольной формы сечения (3 = 1,2),

к — число полуволн, которые образует ось стержня при колебаниях.

 

 

Свободные колебания (приближенные

исследования)

305

Формула (44) определяет два зна­

1]. Собственные частоты

чения собственной

частоты,

отве­

ллп шарнирно опертого стержн

чающих данному числу к полуволн.

(при

— = 2,6 н 3 =

1,2)

Низшее значение

соответствует та­

 

 

 

кой форме колебании, при которой

 

 

 

поперечные

сечения

поворачива­

 

рнизш

раысш

ются в ту же сторону, что и каса­

 

тельные

к

изогнутой

оси;

второе

 

Р1

Р1

значение

соответствует

 

противопо­

 

 

 

ложным

направлениям

к

поворота

1

0,98

70,0

сечений

и

касательных

изогну­

той

оси.

 

 

 

 

 

 

 

 

2

3,74

73,6

 

 

частоты,

получен­

3

7,92

78,2

Собственные

4

13,0В

84,0

ные

по

формуле

(44),

приведены

5

18,77

91,6

в табл.

11.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ (ПРИБЛИЖЕННЫЕ СПОСОБЫ ИССЛЕДОВАНИЯ)

Приближенные способы применяют при анализе колебаний стержней с переменной жесткостью и массой.

Способ замены распределенных параметров сосредоточенными

Этот способ допускает два варианта. Согласно первому варианту рас­ пределенную массу (рис. 5, а) заменяют несколькими сосредоточенными (рис. 5, б). Второй вариант предполагает замену стержня упругой шарнирной цепью (рис. 5, в), каждое звено которой совер­ шенно недеформируемо, а приписываемые шарнирам коэффициенты упругости вы­ бирают из условий достаточ­ ной близости общих жестко­ стей заменяемой и заменяю­ щей систем.

В обоих вариантах задача сводится к рассмотрению си­ стемы с конечным числом сте­

пеней свободы и, следовательно, позволяет найти лишь несколько (например, 5) низших частот. Для этого необходимо заменить заданное распределение масс (жесткостей) достаточно большим (во всяком слу­ чае, не меньшим, чем 5) числом сосредоточенных масс (упругих шарни­ ров). Однако и в этом случае результат может сильно зависеть от выбора мест сосредоточения параметров.

Формула Рэлея

Формула Рэлея основана на энергетическом соотношении (9), гл. 4

и в зависимости от типа колебаний приобретает одну из форм, указанных

втабл. 11, гл. 4; при этом выбирают (с точностью до постоянного мно­ жителя) функцию, описывающую форму перемещений стержня. Наряду с этим существуют иные варианты записи, приведенные в табл. 12.

Источник: https://studfile.net/preview/19992756/

Смотрите также:

17. Введение 18. Линейные программы 19. Ветвления 20. Программирование циклических алгоритмов
Сборные железобетонные ребристые плиты перекрытия
_-___-~1
_3 тема - Диффузия
_Роджерс Карл, Брак и его альтернативы
_Штерн Вильям, Дифференциальная психология и ее методические основы
- Описание типа СЭТ7009
- Программа ГПИ
'Заповит' Рейнгольда Глиэра: стилистические особенности
'Просвещенный абсолютизм' Екатерины II и его влияние на развитие русской культуры