Применение асимптотического уетодо, к расчету оболочек 461
ПРИМЕНЕНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКОГО МЕТОДА К РАСЧЕТУ ОБОЛОЧЕК НА КОЛЕБАНИЯ
Общие соотношения. Понятие об асимптотическом методе В. В, Бо лотина было дано в гл. 7. Здесь рассмотрим его применение к тонким упругим оболочкам постоянной толщины [6, 8 ). Если характеристиче ские длины волны и Я,2 у форм колебаний достаточно малы по сравне нию с радиусами срединной поверхности ^ и то уравнения для форм собственных колебаний могут быть взяты в виде системы уравнений (15)
О ДДт + |
- 5—- |
|
1 |
|
— р/ш2до = 0; |
дх\ |
■+ |
дх: |
|||
|
Кг |
#1 |
|
||
1 АД |
/ |
* |
|
|
(55) |
|
+ ж |
|
|||
ЕН |
( т г |
|
|
||
Асимптотическое |
решение |
уравнений |
(55) для прямоугольной |
||
(в обобщенном смысле) области со сторонами а1 и а2 и с постоянной
метрикой срединной |
поверхности дано в статье |
[6 ]. В частности, |
для |
|
собственных частот получена формула |
|
|
||
(О2 |
№ |
+ 4 Л |
(бв) |
|
п |
(*? + *!)2 У |
|
||
предполагается конечным). Волновые числа |
||||
где у = т - (радиус |
||||
Кг |
|
|
|
|
и к2 вычисляют из системы трансцендентных уравнений (условий
склеивания) |
следующего |
вида: |
|
|
|
|||
М |
1 |
= |
агс1е «п (*1. |
*г) + |
агс(§ и12 (к1г |
кг) Ч -я^я; |
| |
|
к2аг |
= |
агс(§ и„л |
(й1( |
к.,) + |
агс1е « аг (*ь |
йг) + т 2я; |
| |
|
здесь /лх, т 2 — целые числа или нуль, а функции иа$ (кг> к2) зависят от граничных условий. Для свободно опертых краев все функции «аЗ (&1, кг) обращаются в нуль, а асимптотическое решение совпадает с хорошо известным точным решением.
Область применения асимптотического метода. Асимптотическое ре шение пригодно на всей плоскости волновых чисел кх, к2 за исключе нием областей вырождения краевого эффекта (подробнее см. статью [6]). Например, динамический краевой эффект не вырождается для тонких пластин и тонких сферических оболочек. Для цилиндрической оболочки краевой эффект вырождается лишь в случае достаточно малых волно
вых чисел
_1_
2
к\ + к\ г
Если характеристическое уравнение, соответствующее дифферен циальному уравнению динамического краевого эффекта, имеет комплекс ные корни, то краевой эффект называют осциллирующим. Если все корни характеристического уравнения, кроме пары чисто мнимых корней,
Применение асимптотического метода к расчету оболочек 463
где V? (*х) и X (*1) определяют по формулам
|
И7 (*,) = |
|
{(*! + 4) |
[5*“ |
*1 (*1 - |
I]) - |
С 1е_5,Х1] + |
|||||
|
|
|
|
2 |
|
<8,с4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ • |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( * ? + ф 2+ с4 |
|
|
|
|
|
|||
|
X (*,) = з т |
йх (*1 — Ь ) + |
|
+ |
Сге~~к'х‘ + |
х1С3е~к!Х'\ |
||||||
здесь |
51 = |
(к\ + |
2к\) 2 . Постоянные |
| 1т |
|
С2 и С3 определяют из |
||||||
граничных |
условий |
[8]. Пусть на |
краю |
заданы |
условия |
№ (0) = |
||||||
= |
(0) = |
X (0) = |
X' (0) = |
0. |
Тогда ^ |
А1Е1 = |
^1 №1. **)> |
г*е |
||||
|
|
М * » . |
|
|
<— а |
|
(*>• *а) . |
|
||||
|
|
|
1 — 51 |
|
*.) |
’ |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
2 М 5?+ *?)*" |
|
|
|
|||
|
|
|
|
(А ? + ^ |
( , 1+Й 2) |
[(&5 + ^ |
+ с 4] • |
|
||||
Волновые числа находят из уравнений типа (57):
М 1 = |
2 агс!§ |
|
I —й |
(Й1, |
й2) |
+ |
я^л; |
|
|
|
|
||||
|
|
1— |
|
*з) |
|
|
|
к2а2 = |
2 агс1§ |
|
I — й (» 1 . й2) |
+ |
т 4я. |
||
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
52 |
(^1* *г) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Функция #2 (й2, й2) получается из |
(к1, й2) круговой заменой ни- |
||||||
дексов. |
|
|
|
|
задаче о свободных коле |
||
Некоторые другие приложения метода. К |
|||||||
баниях круговых цилиндрических оболочек и панелей асимптотический метод был применен Ю. В. Гавриловым {14, 15]. У прямолинейного края хг — 0 асимптотическое выражение для разрешающей функции
имеет вид |
|
|
ф (*1. х2) = [з1П к2 (х2— ^2) Н- |
+ |
|
+ Сге~5гХ* + С-*- ***'] з т й, (хг — |
|
|
где |
2 |
_1_ |
1 |
||
51= (2к\ + 4) 2 » |
®2. 3= *1 ^ 1 * |
| |
Для характеристических |
корней, описывающих |
краевой эффект |
у круговых кромок, явных выражений получить не удается. Численный анализ был дан в статье [14]. Применение асимптотического метода к тонким оболочкам при наличии начальных усилий к срединной по верхности дано в статье [8].
464 Колебания оболочек
Оценки для плотности собственных частот тонких упругих оболочек. Из формулы (57) можно вывести следующее более грубое приближение:
кхах = тхп + 0 (1 ); к2а2 = тгп + О (1). |
(58) |
Формулы (58) аналогичны хорошо известным асимптотическим оцен кам Р. Куранта для мембран и тонких пластин. Существенно, что для оболочек эти асимптотические оценки верны лишь в том случае, если динамический краевой эффект не вырождается.
Асимптотические формулы (56) и (58) можно использовать для полу чения оценок для плотности собственных частот преимущественно изгибных колебаний. Будем определять приближенно число собствен ных частот N (о*), меньших, чем заданное значение ю*, как отношение площади области на плоскости кх, /г2, внутри которой частота «в меньше,
чем заданное значение ш*, к площади одной ячейки аха2
N (о.) ' 01°2 | |
| «й, Лк*. |
<а (*,. |
Ьл) < < |
Подробности вычислений см. в статье [35]. Для среднего числа собственных частот, меньших заданного значения со, имеем формулу
№<«) |
( ^ ) 2 \ [®* -с о Н у с о з’ е + з.п’ в)2] 2 «е. (59) |
В этой формуле 0)а — характерная частота,
©2 - ж ( т )
Интегрирование в формуле (59) производится по той части квадранта кх ^>0, к2>> 0, внутри которой выражение, стоящее в квадратных скобках, положительно. Дифференцируя почленно формулу (59), для плотности собственных значений п (©) получаем формулу
п (со) ■ - |
|
+ |
__ 1_ |
2п2 |
( ^ г ) 2 © | [(О2 — ©зСуСОЗ2 © + 81П2 6 ) 2] |
М. |
|
|
|
|
(60)
Пусть пс? — характерная плотность собственных значений:
(61)
Выражение, стоящее в правой части формулы, совпадает с плот ностью собственных частот для тонкой пластины. Удобно ввести без
размерный параметр а = - ^ 1 . Всегда можно занумеровать координаты
Применение асимптотического метода к расчету оболочек 465
х2так, что у = |
—гг~ ^ |
1. В этом случае вычисления по формуле (60) |
||||||||
|
■*»2 |
|
|
(61) |
дают |
|
|
|
|
|
с использованием обозначения |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
0 , |
если |
|
1 — ау <0 ; |
|
|
||
|
2 |
_______ к |
Г л / |
0( 1 |
2а (1 |
у) |
1 |
|||
я 1^(1 + а) |
(1 |
— ау) |
А [К |
( (11 |
ау) ] ’ |
|||||
|
|
' I. ^ |
|
+ао) |
|
|
||||
*(а>) |
|
если |
1 — ау >0 , а < 1 ; |
|
|
|||||
2 |
|
|
|
|
|
+ |
а)(1 — ау) 1 |
(62) |
||
"с |
|
|
|
|
|
|||||
я!^2 а( 1 |
|
|
|
|
|
2 а (1 - V ) |
Г |
|
||
|
|
если |
1 ■ ау >0 , а> 1 ; |
|
|
|||||
|
V I — а? |
если |
1 — ау >0 , у = 1 . |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Здесь К (х) — полный эллиптический интеграл в форме |
Лежандра |
|||||||||
первого рода. Последняя формула (62) соответствует случаю сфериче ской оболочки.
Точки сгущения частот свободных колебаний тонких упругих оболочек. Формулы (62) позволяют обнаружить интересные свойства
плотности |
частот свободных колебаний |
тонких упругих оболочек п. |
Пусть |
со2 — характерные частоты, |
|
|
1 |
1 |
Используя обозначения (63), можно сформулировать выводы из статьи [35]: плотность частот свободных колебаний для оболочки
положительной гауссовой |
кривизны равна |
нулю при 0 < (0 «< о>1т |
|
имеет полюс при © = й)а и приближается |
к плотности |
собственных |
|
частот для пластины при |
© 1> ©а (рис. 20). |
Аналогичные |
результаты |
получаются для оболочки нулевой гауссовой кривизны; в этом случае,
однако, |
0 и, следовательно, плотность частот отлична от нуля |
во всем |
диапазоне. Частоты свободных колебаний оболочки отрица |
тельной гауссовой кривизны имеют две точки сгущения: одну — вблизи