Материал: Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3
Определение гидроаэродинамических сил |
471 |
Линеаризированное уравнение для потенциала скоростей возмуще ний будет следующим (с0 — невозмущенная скорость звука):
№ - к а + |
т |
После определения ф' из уравнения (3), рассматриваемого совместно с некоторыми граничными условиями, давление р может быть найдено по линеаризированной формуле
Р - Р о - - Р ° ( - д Г + и - ш ) ч ‘"’ |
(4) |
здесь р0 и ро — невозмущенные значения плотности и давления. В даль нейшем штрихи у малых возмущений опускаем.
Течение несжимаемой жидкости. В случае несжимаемой жидкости (с0 оо) вместо уравнения (3) имеем уравнение Лапласа
Дф = 0. |
(5) |
Сформулируем граничные условия для определения ф. Пусть по верхность тела определяется уравнением г = Ъ (х, у), а проекция тела на плоскость Оху есть 5. Уравнение для верхней поверхности тела за пишем в виде г = 2в (я, у), а для нижней — в виде г = 2,н (х, у). Граничные условия обтекания тела будут
+ |
при * = 2». (* .* > € $ |
Уг —
^Ж"*г1)^Тх при г = 2ш
Для. весьма тонкого тела (тонкого крыла) эти условия могут быть перенесены на плоскость Оху. Кроме этих условий должны быть по ставлены условия за телом (в области вихревой пелены) и условия на бесконечности. Для несжимаемой жидкости первое условие (условие Жуковского) сводится к требованию того, чтобы возмущения скорости на задней кромке стремились к нулю (или чтобы потенциал стремился к постоянной величине). В случае дозвукового обтекания крыла возму
щения скорости на бесконечности должны убывать, по крайней мере, __ з_
как (я? -}- у2 |
г2) 2 .. Выражения для подъемной силы 7, и момента Му |
||||
для. случая, тонкого абсолютно жесткого |
крыла бесконечного, размаха, |
||||
совершающего |
гармонические колебания с, частотой <о,. имеют, вид. |
|
|||
Ь |
= |
ярЬ* (— ё + У0 — хтё) + крС/ЬС (А) X |
|
||
|
|
X ^ — ^+ С /0 + (-^ -6 — |
^ |
||
|
М# = -^-лр1>3 |
— х,пЦ — ( •^ - * — -* т )в — |
|
||
- (-ду & + 4.) 0 ] + |
( т ‘ + ^ ) с (« X |
|
|||
|
|
х [ - ё + |
</е+ |
о]; |
|
472 |
Теория аэрогидроупругости |
здесь Ь — длина хорды; ^ (/) — поперечные смещения точки с коорди натой хт\ 0 (/) — угол поворота (рис. 3). Через С (к) обозначена ком плексная функция приведенной частоты
. сйЬ
к = - т |
(7) |
|
(функция Теодорсена), которая выражается через функцию Ганкеля второго рода
С (к )= Г (к ) + 1С (к) |
(*) |
(8) |
|
|
|||
|
= я<2>(к) + <я<2) (*) ■ |
|
|
Полярная диаграмма |
для функции |
С {к) показана на рис. |
4. |
Заменяя в формулах |
(6) функцию С (А) на значение С (0) = |
1, по |
|
лучим формулы, соответствующие так |
называемой квазистационарной |
||
теории. Еще более грубое приближение получим, беря формулы для стационарного обтекания и заменяя в них угол атаки мгновенным зна чением угла, который составляет вектор суммарной скорости со средней линией профиля
|
1 = яр С 7 6 (— с;' + ^ 0); ] |
|
||
|
1А* = |
- 1 { т |
+ Хт) \ |
(9) |
Гиперзвуковое |
течение. |
В случае |
больших сверхзвуковых |
ско |
ростей (М > 1) |
возможно |
существенное упрощение теории. |
Пусть |
|
ша < с, где №а — нормальный компонент скорости частиц на поверх ности тела (скос потока). Тогда согласно «закону плоских сечений» имеем прибликсеиное соотношение
Рв — рн = 2рс0ыа (х, 0- |
(1°) |
Смысл рассматриваемого приближения состоит в следующем: при сверхзвуковых скоростях с увеличением скорости влияние возмущений носит все более локальный характер и в предельном случае весьма больших сверхзвуковых скоростей каждая частица газа движется прак тически лишь в направлении, перпендикулярном к скорости потока V. Частицы газа движутся в узких областях, ограниченных близкими вер тикальными плоскостями. Чем больше скорость потока V, тем точнее выполняется этот «закон плоских сечений». Для давления на поверхность тела получается формула, аналогичная выражению для давления на
Задачи аэрогидроупругости для стержней |
473 |
поршень, движущийся в одномерном канале. Отсюда происходит второе название данного подхода — поршневая теория. Выражение для давления на тело согласно нелинейной поршневой теории имеет вид
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2и |
|
|
|
|
|
Р=Ро |
|
|
|
|
( П ) |
|
Считая скос потока малым (и; < |
с0), можно разложить правую часть |
|||||||||
формулы (11) |
в ряд по степеням |
и) |
|
|
|
|||||
— : |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
со |
|
|
|
-Ро |
[■ |
+ ? |
+ |
х (X + 1) |
|
|
+ |
х ( х + 1) |
||
( т |
) ' |
12 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
Как частный случай из этой формулы следует формула Аккерета |
||||||||||
(если |
сохранить |
члены до — |
включительно) |
и формула Буземана |
||||||
\ |
|
|
|
|
с0 |
|
|
|
|
|
I |
сохранить |
|
м*2 |
\ |
|
|
|
|
||
/если |
члены до —= -1. |
|
|
|
||||||
I |
|
|
|
|
с* |
) |
|
|
|
сил, действующих на |
Библиографические указания. |
Определению |
|||||||||
тонкие тела, которые движутся в потоке жидкости или газа, посвящена обширная литература [4, 5, 12, 14, 15, 24, 27, 28, 31, 39, 43, 52, 67, 74]. Изложение этого вопроса применительно к задачам аэроупругости можно найти в книгах [4, 15, 39, 67]. Приближенные формулы для боль ших сверхзвуковых скоростей приведены в статьях [27, 31, 74]; сопо ставление этих формул дано в книге [15]. Области применения различ ных аэродинамических теорий приведены в табл. 1 [39]. В этой таблице
к— приведенная частота по выражению (7); 6 — отношение толщины или амплитуды к хорде крыла; Ь — удлинение (отношение длины крыла
кхорде).
ЗАДАЧИ АЭРОГИДРОУПРУГОСТИ ДЛЯ СТЕРЖНЕЙ
Предварительные замечания. Рассмотрим задачи аэрогидроупру гости для конструкций, которые можно рассматривать как стержни. Важнейшим примером могут служить крылья достаточно большого удлинения. Методика расчета крыльев на флаттер и дивергенцию пред ставляет собой весьма разработанную область теории аэроупругости. Здесь рассмотрим теорию флаттера и дивергенции крыльев в простейшей постановке и некоторые неклассические задачи аэрогидроупругости для стержней. Подробнее см. работы [4, 24, 67].
Уравнения малых колебаний крыла в потоке газа. Будем трактовать крыло как упругий стержень, жесткость которого в одном направлении максимальна и весьма велика по сравнению с другой изгибной жест костью ЯУ, а также с крутильной жесткостью *. Ось центров из гиба Оу полагаем прямой, направленной перпендикулярно к потоку
