Материал: Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3

здесь т — масса крыла на единицу длины (вдоль размаха); х,п — рас­ стояния между осью центров изгиба и осью центров масс; г — радиус инерции сечения относительно цент­ ра изгиба; Ь п М у — линеаризиро­ ванные выражения для подъемной силы и момента, отнесенных к еди­

нице длины крыла.

Вообще говоря, сила /, и мо­ мент Му выражаются через пере­ мещение Vи угол 0 весьма сложно. В случае, если крыло достаточно длинное и его параметры вдоль раз­ маха меняются медленно, вычисле­ ния можно упростить, трактуя при­ ближенно поток в каждом сечении как плоский. Тогда сила I и момент М у могут быть определены по фор­ мулам типа (6) и (9).

Дивергенция крыла. Рассмотрим некоторые стационарные решения системы (12). Допустим, что в стационарном случае сила Ь от переме­ щения V не зависит, а момент М у выражается через эмпирический коэффициент см (6) следующей формулой:

Тогда второе уравнение системы (12) может быть рассмотрено неза­ висимо. После линеаризации относительно угла 9 оно принимает вид

где I — длина крыла. При 1} — 0 краевая задача не имеет никаких решений, кроме тривиального решения 0 = 0 . Минимальное значение скорости {/, при котором краевая задача имеет решения, отличные от тривиального, соответствует разветвлению форм равновесия. При этом значении наряду с тривиальной (незакрученной) формой появляется смежная с ней форма равновесия, которая сопровождается закручива­ нием крыла. Исследование соответствующей неоднородной задачи пока­ зывает, что приближение к указанной скорости ведет к резкому нара­

станию углов закручивания — к дивергенции крыла. Дивергенция крыла является полным аналогом обычной статической неустойчивости в упру­ гих системах, а метод определения критической скорости дивергенции — полным аналогом метода Эйлера в теории упругой устойчивости.

В случае крыла постоянного сечения уравнение (14) и краевые усло­ вия (15) весьма упрощаются:

= 0,

где

к*.

рУЧ* 2^^к <90

Нетривиальные решения имеют место при соз Ы = 0; отсюда крити­ ческая скорость дивергенции

Изгибно-крутильный флаттер крыла. Подстановка в уравнения (12)

о собственных значениях. Цель состоит в исследовании поведения пока­

вости (флаттер). Исключение составляет случай, когда переход осуще­ ствляется через точку 5 = 0 ; этот случай, очевидно, соответствует ди­ вергенции (рис. 6, б). При изгибно-крутильном флаттере существенное значение имеет парное взаимодействие различных степеней свободы. Эта сторона становится особенно ясной, если от системы с бесконечным числом степеней свободы перейти к конечномерной системе. Наиболее

здесь %к и — обобщенные координаты, первая из которых соответ­ ствует изгибу, вторая — кручению;, срл и — функции, удовлетворя­

ющие краевым условиям («например*, «балочные» функции). Подставляя выражения (17) в уравнения; (12) и применяя вариационный метод Галеркина, придем к системе двух обыкновенных дифференциальных уравнений относительно §к и \к.

Вычисления показывают, что, удерживая в рядах (17) по одному первому члену, мы получаем качественно удовлетворительные резуль­ таты. Изгибно-крутильный флаттер поддерживается, следовательно, благодаря взаимодействию основных, форм изгибных и крутильных ко­ лебаний. На критическую скорость существенное влияние оказывает соотношение между парциальной собственной частотой изгибных ко­ лебаний и парциальной собственной частотой крутильных колебаний. В зависимости от соотношения параметров критическая скорость флаттера может оказаться как меньше, так и больше критической скорости дивергенции.

Колебания плохо обтекаемых стержней в потоке газа. Рассмотрим колебания плохообтекаемого тела, например, кругового цилиндра (рис. 7) в потоке газа. Характерным для этих колебаний является воз­ никновение в следу вихревой дорожки Кармана ‘При отделении от тела одиночного вихря циркуляция изменяется на величину, равную интен­ сивности вихря. Если за телом образуется вихревая дорожка Кармана,

то с тела попеременно через* равные интервалы1времени срываются вихри противоположного направления. Поэтому возникают периодические изменения подъемной силы, что-служит причиной-колебаний, происхо­ дящихпоперек направления потока..

Если цилиндр неподвижен, то* частота срыва вихрей' 0 может быть найдена из условия, что число Струхаля (приведенная" частота)

Более точное, эмпирическое, соотношение, справедливое для чисел Рейнольдса Ке, лежащих в диапазоне. 40 < К«е*< 5-103, имеет вид.

Амплитуда подъемной силы, действующей на неподвижный цилиндр, может быть найдена по формуле

собственных колебаний. Эксперименты показывают, что автоколебатель­ ные режимы с большими амплитудами устойчивы лишь вблизи частот,

удовлетворяющих соотношениям (18) и (19), а сдвиг фазы ют близок

кСледовательно, амплитуда колебаний может быть оценена по

формуле

А а р114 сЬ '

где числовой коэффициент 1 < * а«< 3,4 . Подробнее см. статьи [12, 43] и в литературных источниках, указанных в статье [12].

ФЛАТТЕР ПЛОСКИХ ПАНЕЛЕЙ (ЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ)

Бесконечная пластинка. Рассмотрим бесконечную пластинку, обте­ каемую потоком газа. Ограничимся случаем простой гармонической волны, распространяющейся вдоль потока (рис, 10), и определим ско­

рость потока, при которой амплитуда волны начинает возрастать со временем. Движение бесконечной пластинки, обтекаемой с одной сто­ роны потоком газа с невозмущенной скоростью II, может быть описано уравнением