можно пренебречь. Модель двухфазной фильтрации без учета капиллярных сил рассматривали С. Баклей и М. Леверетт (1942 г.). В 1953 г. Л. Рапопорт и В. Лис предложили модель двухфазной фильтрации с учетом капиллярных сил.
Согласно наиболее простой модели Баклея — Леверетта не поршневое вытеснение, как известно из подземной гидрогазоди намики, описывается уравнением доли вытесняющей жидкости (воды) в потоке и уравнением скорости перемещения плоскости с постоянной насыщенностью. Рассмотрим прямолинейное вы
теснение из однородного |
пласта |
при движении несжимаемых |
|||
жидкостей. Доля воды в потоке водонефтяной смеси |
|
||||
м |
QB |
QB |
(2.65) |
||
QB + |
QH |
Q |
|||
|
|
||||
где Q= QH+ Q B — объемный расход смеси, равный сумме расхо дов воды QBи нефти QH; s — насыщенность пор породы подвиж ной водой.
С учетом уравнений движения воды и нефти
QB = |
kk‘ |
F |
ЭР , |
(2.66) |
|
Цв |
|
дх |
|
QH = '— kk” |
F |
9Р |
(2.67) |
|
|
Пн |
|
дх |
|
уравнение доли воды примет вид |
|
|
|
|
HS)~ |
|
1 |
k |
(2.68) |
|
’ |
|||
|
i + —- ~ т ~ |
|
||
|
|
N |
&в |
|
где k„, kB— относительные проницаемости соответственно для нефти и воды; F — площадь фильтрации; др/дх — градиент дав ления; р,0=Рн/цв — отношение вязкостей нефти рн и воды рв.
Из уравнения (2.65) имеем
QB = / (s) Q |
(2.69) |
или после дифференцирования при Q= Q(t)
3QB _ df (s) ds Q |
(2.70) |
|
dx |
ds |
dx |
Условие Q= Q(t) следует из уравнений неразрывности пото ков воды и нефти
|
dQB |
|
|
r? ds |
|
> |
(2.71) |
|
дх |
— — mF |
|
||||
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
dQn |
|
г |
ds |
t |
|
(2.72) |
|
|
— mF |
dt |
|
|||
|
дх |
|
|
|
|
|
|
складывая которые, имеем |
|
|
|
|
|
|
|
dQ* |
. dQH |
|
|
(Q B + |
Q H) = о, |
(2.73) |
|
дх |
дх |
|
дх |
||||
|
QB + |
Q H = |
Q (О* |
|
(2.74) |
||
где т — пористость пласта; t — продолжительность вытеснения. Уравнение (2.74) показывает, что расход смеси не изменя ется по координате х, так как нефть и вода приняты за несжи
маемые жидкости.
Подставляя уравнение (2.71) в выражение (2.70), получаем
Л М — |
= 0. |
(2.75) |
ds dx |
dt |
|
В любой фиксированной точке пласта насыщенность s изме няется, а точки с фиксированным значением насыщенности s = = const перемещаются со временем вдоль пласта в направлении движения жидкостей, тогда
ds = — |
dt- ds |
dx = 0, |
(2.76) |
||
dt |
дх |
|
|
|
|
откуда |
|
|
|
|
|
dx |
ds |
|
ds |
(2.77) |
|
dt |
~~дГ |
|
dx |
||
|
|
||||
Из уравнения (2.75) |
получаем |
|
|
|
|
df (s) |
Q _ |
ds |
ds |
(2.78) |
|
ds |
mF |
dt |
~dx |
||
|
|||||
Приравнивая выражения (2.77) и (2.78), получаем уравне ние движения точки х (плоскости) с некоторой постоянной на сыщенностью s = const, называемой характеристикой
dx |
mF |
df (s) |
(2.79) |
|
dt |
ds |
|||
|
Рис. 2.2. Зависимости относительных проницаемостей (а), доли воды f(s), df(s)/ds от водонасыщенности s пласта (б) и водонасыщенности s от без размерной координаты £ (в)
Решение уравнения |
(2.79) при отсутствии |
подвижной воды |
|||
в пласте в начальный момент времени можно записать так: |
|||||
|
df (s) __ |
mV |
|
(2.80) |
|
|
ds |
Qz (t) |
|
||
|
|
|
|||
или |
|
|
|
|
|
|
df(s) |
^ |
|
(2.81) |
|
|
|
|
|
||
t |
|
|
|
|
|
где Q2 ( 0 = J Q ( 0 ^ |
— суммарное |
количество вторгшейся |
|||
о |
|
|
|
tTLV |
|
в пласт воды; V=Fx — объем |
пласта; |
£ = |
|||
------------- безраз- |
|||||
Qs (0
мерная пространственная координата.
Имея экспериментальные зависимости относительных прони цаемостей kH(s) и kB(s) от водонасыщенности s (рис. 2.2, а), можно построить сначала, используя уравнение (2.68), функ
цию f(s), |
затем |
графическим дифференцированием---- *HS£L |
|
|
|
|
ds |
(рис. 2.2, |
б). Так |
как |
= £, то соответственно имеем сразу |
|
|
|
ds |
график распределения насыщенности 5 пласта подвижной водой вдоль безразмерной координаты £ (рис. 2.2, в), который иден
тичен |
графику |
рис. 2.2, б. Из |
рис. |
2.2, в видно, что насыщен- |
||
ность |
в |
„ |
точке пласта |
с. |
mFx |
в каждый момент |
каждой |
|
---------- |
||||
времени |
|
|
|
QE (0 |
такое абсурдно — |
|
t является двузначной. Физически |
||||||
в каждой точке в каждый момент времени должна существовать только одна вполне определенная насыщенность. Отсюда сле дует, что зависимость s от £ справедлива только до некоторого значения £=£ф и при £ф значение s должно изменяться скачком
от s = 5ф до 5 = 5СВ, где sCB— содержание связанной воды. Таким образом, для устранения двузначности допускаем существование скачка насыщенности и вводим понятие фронта вытеснения, а безразмерная координата £ф является координатой фронта вы теснения. Можно показать, что
5ф |
f (Дф) |
(2.82) |
|
df (s$)lds |
|
откуда |
|
|
df(st )/ds = f(st )/st . |
(2.83) |
|
Соотношение (2.83) выражает тангенс угла наклона каса тельной к кривой f(s), проведенной из точки s = s CB, тогда абс цисса точки касания К будет равна вф. Графически £ф и Яф можно определить из условия равенства площадей, заштрихо ванных на рис. 2.2, в горизонтальными линиями. Отметим, что на рис. 2.2, в sB и Янф обозначают насыщенность породы под вижной нефтью в водонефтяной зоне и на фронте вытеснения.
Средняя водонасыщенность в зоне вытеснения до прорыва воды из пласта равна нефтеотдаче, точнее коэффициенту вытес нения, который можно представить так:
т ъ = - г - f* ( « - * .) « • |
(2-84) |
£ф о
Равенство объемов закачанной в пласт воды и вытесненной оттуда нефти можно записать:
"Уф
f (s—sCB) d (mV) = Qz. (2.85)
о
откуда
£ф |
|
j (S—S cB )d (-^ -)= l, |
(2.86) |
0 |
|
т. e. интеграл в уравнении (2.86) (площадь, заштрихованная на рис. 2.2, в вертикальными линиями) равен единице.-Здесь Уф— объем пласта в зоне вытеснения, а £ф = тУф/ф2. Тогда
Т]в = 1/Сф |
(2.87) |
или |
|
1 |
(2.88) |
df (яф)lds |
|
Отсюда, учитывая уравнение (2.83), приходим к выводу, что коэффициент безводной нефтеотдачи увеличивается с уменьше
нием отношения |i0, т. е. с увеличением вязкости вытесняющей фазы и (или) уменьшением вязкости нефти.
Пример. Определить время /ф подхода воды к выходу из элемента пла ста, обводненность продукции п в и среднюю безводную нефтеотдачу цв. Ус тановить влияние отношения вязкостей нефти и воды на эти показатели.
Принять: L=500 м, F=5000 м2 (500 |
м*10 м); m=0,2; Q=400 м3/сут; |х0= |
|||||||||||
= 5 и 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для решения воспользуемся данными Д. А. Эфроса для значений ka(s), |
||||||||||||
kB(s), f(s) |
и df(s)/dst |
которые представлены |
на рис. 2.2,а |
и 6 |
(сплошные |
|||||||
линии при |io=5). Из |
точки (S CB ; |
0) |
на рис. |
2.2,6 |
проводим касательную |
|||||||
к линии f(s) и находим |
s*=0,625 |
и 5ср=т]в=0,71. |
Так как df(s)/ds =t> то |
|||||||||
при s=s$ |
находим |
= 1,75, что показано также |
на |
рис. 2.2, в |
(сплошная |
|||||||
линия). Поскольку f(s) |
выражает |
долю воды в продукции, то на фронте |
||||||||||
вытеснения при |
s=s$ |
по' рис. 2.2,6 |
находим |
f (5ф) = яв=0,83. При Q = const |
||||||||
находим |
время |
t<b =mFL/(Q^'ti) = 0,2*5000 |
м2*500 |
м/(400 |
м3/сут • 1,75) = |
|||||||
= 714 сут. |
|
при |х0= 1 находим |
лв=0,93; |
|
цв=0,835; $ф=0,79; |
£ф = 1,58; |
||||||
Аналогично |
|
|||||||||||
^Ф= 791 сут. Зависимости f(s) и - ^ |
^ |
= £ при |х0=1 |
показаны на рис. 2.2,6 |
|||||||||
|
|
|
|
ds |
|
|
|
|
|
|
|
|
и в пунктирными линиями. Из сопоставления линий следует, что при умень
шении |
ро линии f(s) |
и —-Ф - смещаются вправо на рис. 2.2,6 и линия s(£) |
||
вверх |
на |
рис; 2.2, в. |
ds |
по данным расчета видно, что с уменьшением |
Значит, |
||||
jio (уменьшением р,ц |
и (или) |
увеличением |ЛВ) увеличиваются Чв, Яв, tф. |
||
Полученные формулы справедливы в безводный период раз |
||||
работки |
пласта, |
когда |
фронт вытеснения не подошел еще |
|
к концу пласта. Продолжительность безводного периода можно
определить |
так. Поскольку t^ = mV^!Q^ то при Уф = F L Kl где |
L K— длина |
пласта, найдем |
<22 = тУф/£ф, |
(2.89) |
а по нему в момент времени подхода фронта |
к концу пласта |
t = ^обв»
Для расчетов в водный период, т. е. при t> t0бв, можно счи тать, что фронт вытеснения перемещается дальше в фиктивном продолжении пласта. Водонасыщенность составит на фиктив ном фронте 5ф, а при x = L K величину sK- Неизвестную величину sK находят по 5ф, а затем по sK вычисляют другие параметры. Подробнее об этом читатель может познакомиться в учебнике Ю. П. Желтова [2] и монографии М. Л. Сургучева [10].
Модель Баклея — Леверетта косвенно учитывает капилляр ные силы через фазовые проницаемости. Капиллярные силы более полно учитываются в модели Рапопорта — Лиса через экспериментальную функцию насыщенности (функцию Леве ретта). Анализ показывает, что капиллярные силы «размазы вают» фронт, поэтому при их учете скачок насыщенности отсут ствует и насыщенность изменяется непрерывно до насыщенно сти связанной водой. Экспериментами было обнаружено, что при постоянной скорости вытеснения распределение насыщен