Курсовая работа (т): Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными

Требуется знание работы «Алгоритм решения Диофантовых уравнений (АРДУ)».

Знание прогрессий многочленов и их матриц обязательно.

Простые числа - ПЧ.

Составные числа - СЧ.

Координатная сетка - КС.

И никаких лемм - теорем до финиша доползём на конкретных примерах.

Возьмём предельно простое уравнение, -

х+2у-41=0.(1)

Займёмся подбором решений. Мы набиваем руку и нам на начальной стадии надо знать всё об этом уравнении. Нам надо знать наличие решений в целых числах. Составим таблицу в которой величины х, у изменяются в пределах натурального ряда чисел 1÷13.

Таблица 1.

Пять нолей нащупали в матрице, а значит и пять решений. Теперь сделаем следующее действо, - в таблице 1 поменяем местами обозначения вертикальных и горизонтальных рядов. Данное действо делаем сознательно, хотя и по принципу «бросить часы в мясорубку и посмотреть что получится». Мы получили новую КС, по сравнению с предыдущей для таблицы 1.

Таблица 2

Опишем данную матрицу формулой.

Составим формулы вертикальных рядов.

Для первого вертикального ряда будет, -

+2(х-1)=2х-38.

Для второго вертикального ряда будет, -

+2(х-1)=2х-35.

Для третьего вертикального ряда будет, -

+2(х-1)=2х-32.

Полученные формулы обличаются свободными членами.

Опишем свободные члены полученных выражений, -

+3(у-1)=3у-41.

И окончательно, -

Щ_n= 2х+3у-41.

Первая маленькая победа.

В таблице 1 выделена линия чисел. Она подчёркнута. В дальнейшем она будет именоваться «диагональю».

Так вот, функция Щ_n отображает зеркально числа через диагональ из одного пространства в другое.

Индекс «n» при Щ обозначает слово «прямая».

Прямая, т.к. Щ_n вычислять не надо, достаточно поменять местами в начальном уравнении х и у местами. А есть Щ_в, где «в» - означает «вычесленная».

У нас есть КС из х и у для таблицы 1 и таблицы 2. Этого нам мало. Давайте сочиним и другую КС.

Потребуется применить к уравнению (1) АРДУ, и тогда придётся перебирать варианты:

)        х-нечётное число, у-нечётное число, х>у;

)        х-нечётное число, у-нечётное число, х<у;

)        х-нечётное число, у-чётное число, х>у;

)        х-нечётное число, у-чётное число, х<у;

)        х-чётное число, у-нечётное число, х>у;

)        х-чётное число, у-нечётное число, х<у;

)        х-чётное число, у-чётное число, х>у;

)        х-чётное число, у-чётное число, х<у.

Читатель, мы с тобой заглянули в ответ, поэтому чтобы зря не мучиться изобразим счастливое угадывание.

Возьмём условие №1.

Таблицу 1 преобразуем в соответствии с этим условием, - КС будет состоять из нечётных х и у.

Таблица 3

Для дальнейшей работы КС нужно преобразовывать так, чтобы вертикальные и горизонтальные ряды были пронумерованы числами натурального ряда 1, 2, 3 ….

Сначала пронумеруем вертикальные ряды, -

,

,

.

Для у аналогично.

Таблица 4.

И уже к таблице 4, где КС состоит из функциональных выражений , , добавим новую КС с другим функциональным выражением.

В уравнение (1) введём новые переменные, -

Уравнение (1) примет вид,-

Сократим на наименьшую переменную 2β, -

где -(2)

Тогда

Уравнение (2) примет вид, -

При

При

Это подбор, но нам нужно убедиться, что правильно движемся.

Теперь у нас есть выражения для КС  

Выражения  и  равноценны, они делают одну и туже работу, - нумеруют горизонтальные ряды, поэтому из рассмотрения уберём, а оставим , т.е. составим новую КС. Отличие же от в следующем, - нумерует все горизонтальные ряды, тогда как  нумерует горизонтальные ряды, в которых есть решения для уравнения (1) при условиях х-нечётные, у-нечётные числа, при х>У. Смотри таблицу 4.

Таблицу 4 изобразим с новой КС.

Таблица 5

Будем описывать вертикальные ряды, -

Опишем свободные члены, -

Составим полное выражение, описывающее числа в таблице 5.

Оно должно быть тождественным уравнению (1).

Составим уравнение, -

Убедились в тождественности КС  и КС

Ещё раз зафиксируем следующее, -

в таблице 5

Нумерация сохранилась от предыдущей КС, когда горизонтальные ряды были пронумерованы выражением .

Когда имеем дело с КС, в которой имеется «К» правильнее было бы совсем не писать нумерацию ни вертикальных, ни горизонтальных рядов, для которых «К» работает в данный момент. В дальнейшем нумерацию писать будем, но будем помнить, что грешим.

В параграфах §§А будем рассматривать, скажем так, прямые КС, а в §§Б КС перевёрнутые. При помощи перевёрнутых КС будем находить Щ_в и из соотношений Щ_в=Щ_n, совместно с исходным уравнением, будем составлять систему уравнений. Полученную систему требуется исследовать на предмет наличия решений в исходном уравнении.

Изменим таблицу 5. Поменяем местами

и

Таблица 6

Будем описывать вертикальные ряды, -

Составим выражение для свободных членов, -

Составим общее выражение, -

Проверка показывает, что при подстановке в данное выражение величин х=13, у=1, а также х=9, у=7, получены значения, соответственно - 12 и - 2. Т.е. получено выражение Щ_в, см. таблицу 1. Составим уравнение Щ_в=Щ_n.

Получили уравнение (1).

В общем случае должно получиться уравнение тождественное исходному, но другое по содержанию. И ещё раз, - должна получиться система уравнений. Для иллюстрации подобран не совсем удачный пример. Ниже будут и удачные примеры. Сам же этот, не совсем удачный пример, помог разобраться в целом с разрешимостью Диофантовых уравнений. В основном точка в этой теме будет поставлена в одноимённых работах, где - то месяца через 2 - 3.

Для уравнения (1) используем условие из АРДУ №3, где -

х-нечётное число, у-чётное число, х>У (х=11, у=4 в таблице 1).

В уравнение (1) введём новые переменные, -

Сократим на меньшее переменное , -

где -(3)

Имеем

Уравнение (3) примет вид, -