Материал: Руководство к проведению практических занятий по курсу «Математика» во втором семестре. Бырдин А.П., Сидоренко А.А

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

, называются главными значениями угла и обозначаются arg z .

Соотношения между модулем и аргументом комплексного числа z и его действительной и мнимой частью устанавливаются формулами

a cos , b sin .

(1.2)

Отсюда

cos

, sin

(1.3)

a2 b2

Аргумент z

определяется неоднозначно по формуле

			b
arctg				,
arctg			a	,
			a
			b
arctg			b	,
arctg				,
			a
			b
			b
arg z arctg				,
arg z arctg			a	,
			a
		,
	2
	2

	,

	2

a 0,
a 0,	b 0,
a 0,	b 0,	(1.4)
a 0,	b 0,
a 0,	b 0.

Заменяя a и b в выражении (1.1) их выражениями через

и , получим тригонометрическую форму записи			ком-
плексного числа
z (cos i sin ) .			(1.5)
Пусть даны два комплексных числа	z1 a1 ib1		и
z2 a2 ib2 . Эти числа являются равными,	если у них равны
действительные и мнимые части, т.е. a1 a2 ,		b1 b2 .	Для

чисел, заданных в тригонометрической форме, равенство имеет место, если модули этих чисел равны, а аргументы отличаются на целое кратное 2 , т.е.

z1 z2 ,

и Arg z1 Arg z2

2k .

Два комплексных числа z a ib

и z a ib называ-

ются сопряженными. Для

сопряженных комплексных чисел

выполняются соотношения

arg z1 arg z2.

Пусть даны

два комплексных

числа

z1 a1 ib1 и

z2 a2 ib2 . Действия над этими комплексными числами

определяются по правилам.
Сложение.	z1 z2 (a1 a2 ) i(b1 b2 ) .
Вычитание.	z1 z2	(a1 a2 ) i(b1 b2 ) . При этом

полезно знать, что модуль разности двух комплексных чисел z1 и z2 равен расстоянию между точками, являющимися их изображениями на плоскости z : z1 z2 d(z1, z2 ) .

Умножение. z1 z2 (a1 a2 b1 b2 ) i(a1 b2 a2 b1) .

Если z1 1(cos1 i sin 1) , z2 2 (cos2 i sin 2 ) , то z1 z2 1 2 [cos( 1 2 ) i sin( 1 2 ) .

Таким образом, модуль произведения равен произведению модулей сомножителей, а аргумент произведения – сумме аргументов сомножителей.

Деление. Для нахождения частного двух комплексных чисел, заданных в алгебраической форме, следует делимое и делитель умножить на число, сопряженное с делителем:

a1 ib1

(a1 ib1) (a2 ib2 )

a2 ib2

(a2 ib2 ) (a2 ib2 )

(a1a2 b1b2 ) i (a2b1 a1b2 )

a1a2 b1b2

a2b1 a1b2

a 2

Если z1 1(cos 1 i sin 1) ,				z2 2 (cos 2			i sin 2 ) , то
	z1	1	[cos(		2	) i sin(		2	) .

	z2	2	1			1

					6

Таким образом, модуль частного равен частному модулей делимого и делителя, а аргумент частного равен разности

аргументов делимого и делителя.

Возведение в степень. Если z (cos i sin ) , то z n n (cos n i sin n )

(здесь n может быть как целым положительным, так и целым

отрицательным числом).

Извлечение корня. Если z (cos i sin ) и n целое положительное число, то корень n -й степени из комплексного

числа z имеет n различных значений,

которые находятся по

формуле

2 k

i sin

2 k

n z n cos

где k 0,1,2,..., n 1.

Пример.

Найти

z1 z2

если

z 2 3i ,

3 5i ,

z3 1 4i .

Решение.

Сначала вычислим произведение z1 z2

z1 z2 (2 3i) (3 5i) 6 10i 9i 15 21 i .

Далее находим

z1 z2

(21 i) (1 4i)

21 84i i 4

(1 4i) (1 4i)

1 16

17 17

Пример.

Представить

тригонометрической

форме

комплексное число z 1 i

Решение.

Находим

1 3 2 ,

arg z arctg

arctg 3

. Следовательно,

i sin

2 cos

		Пример.											Даны два									комплексных																	числа			z1 1 i					и

z2				3 i . Записать их в тригонометрической форме. Найти в
тригонометрической форме:
1) z z								2)					z1	; 3) z5 ; 4) 3																	.
					2	;							z1																z
						;																							z
	1											z2							1											1
																			1

		Решение. Запишем в тригонометрической форме эти
комплексные числа
														1 arctg1
1			1 1																														z1										i sin
1			1 1								2 ,														4			и					z1							2 cos		4	i sin		4	,
																									4																	4			4
																					1
2				3 1 2 , 2											arctg						1
																										6				и					z1			2 cos				6	i sin		6	.

																						3
																						3
		Далее находим:
																																									5			5
																																									5			5
1) z1 z2								2 2 cos											i sin															2					2 cos				i sin			.
1) z1 z2								2 2 cos										6	i sin											6				2					2 cos		12		i sin	12		.
														4				6							4					6											12			12
	z
						2
						2
2)	1								cos										i sin																			2 cos					i sin				.
2)									cos										i sin																			2 cos					i sin				.
	z2					2							4				6							4																	12
	z2					2							4				6							4						6											12				12

3)	z5						25 cos 5 i sin 5 .
	1
															2k														2k
					6									4	2k												4		2k
4)	3 z							2		cos				4						i sin							4									.
4)	3 z							2		cos										i sin																.
	1															3														3


Если k 0 , то														6

												0					2 cos									i sin										;
												0					2 cos					12				i sin										;
																						12										12
														6								3											3
																						3											3
		k 1 , то														2 cos										i sin											;
		k 1 , то														2 cos										i sin											;
											1												4										4
																							4										4
																							17											17
		k 2 , то											0 6 2										17					i sin						17
																			cos																					.
																			cos				12																	.
																							12													12
																										8

2. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Литература: [1, гл. 10, §§ 1 10].

2.1. Первообразная. Неопределённый интеграл

Определение. Функция F(x) называется первообразной функцией для функции ƒ(х) на интервале (a, b), если F(x) диф-

ференцируема на (a, b) и F/(x)=ƒ(х) или dF(x)=ƒ(x)dx для всех x (a, b) .

Простейшие примеры:


	x	3			1		1
1. f x x2; F x	x				1	x3	1	3x2
			,	так как					;
			,	так как					;
	3				3		3
2. f x cos x; F x sin x,					так как	sinx cos x .

Если для ƒ(х) существует первообразная F(x), то существует и бесчисленное множество первообразных, отличающихся друг от друга на константу. Например, для ƒ(х) = х2 первообразными будут функции:

1	x	3	;	1	x	3	1;	1	x	3	10	и т.д.
3				3				3

Определение. Если функция F(x) является первообразной для ƒ(х), то выражение F x С называется неопределён-

ным интегралом функции ƒ(х) и обозначается символом

f x dx F x С

Операцию нахождения неопределённого интеграла (первообразной) называют интегрированием функции ƒ(х). Функция, имеющая первообразную, называется интегрируемой. Для функции, непрерывной на (a, b) существует первообразная на (a, b), т.е. она интегрируема. Интегрирование есть операция обратная дифференцированию.

Из определения неопределенного интеграла следует:

1) производная от неопределённого интеграла равна подынтегральной функции (применяется для проверки):

Источник: https://studfile.net/preview/16565860/

Смотрите также:

_3 тема - Диффузия
02_ЛР
05. Частная патология ССС - Инфаркт миокарда
0501 Конунников ЛР10-3
07
07-20-FunctionGenomApplic-Metagenom
07. ПА_Лекция 7_Патология энд.жел
09_ЛР
1 Нет ответа Балл 1,0 Отметить вопрос
1 ответ