Материал: Руководство к проведению практических занятий по курсу «Математика» во втором семестре. Бырдин А.П., Сидоренко А.А

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Эта формула называется формулой интегрирования по частям. Формула сводит вычисление интеграла udv к вы-

числению интеграла vdu, который может оказаться проще

исходного.

С помощью интегрирования по частям вычисляются интегралы следующих видов.

а) eaxPn x dx , Pn x sin xdx; Pn x cos xdx .

Во всех этих интегралах многочлен Рn(x) умножается на

функцию, интеграл от которой является табличным. В этом
случае за u(x) выбирают Pn x .
б) ln xPn x dx , Pn x arcsin xdx;	Pn x arctgxdx .
Во всех этих интегралах многочлен	Рn(x) умножается на

функцию, интеграла от которой в таблице нет. В этом случае

за u(x)	выбирают ln x, arcsin x, arccos x, arctg x и т.д.
в)	eax sin bxdx, eax cos bxdx.

Такого вида интегралы берутся по частям два раза.

Примеры. Вычислить неопределенные интегралы, используя метод интегрирования по частям.

		u x;			du dx
1.	xe x dx		x
			x	dx;	v e	x
	dv e			dx;	v e
xe x e x dx xe x e x c.
			u x;			du dx

2.	x cos xdx
		dv	cos xdx;			v sin x

x sin x sin xdx x sin x cos x c.

3. (x				u x 2 2x 3;				du (2x 2)dx
	2		x
	2	2x 3)e	x	dx
		2x 3)e		dx	dv e	x	dx;	v e	x
					dv e		dx;	v e

(x 2 2x 3)e x (2x 2)e x dx

Применим ко второму интегралу еще раз формулу интегрирования по частям

u 2x 2;

du 2dx

(x 2 2x 3)e x (2x 2)e x

dx;

v e

dv e

2 e x dx (x 2 2x 3)e x (2x 2)e x 2e x c.

u ln x, du

x5 ln xdx

ln x

dv x5dx, v

ln x

c .

u arctgx,

xarctgxdx

1 x 2

dv xdx

v x

/ 2

x 2

arctgx

x 2

arctgx

x 2 1 1

1 x

x 2

arctgx

)dx

x 2

arctgx

arctgx c.

1 x

u e x , du e x dx

6. e

sin xdx

cos x

dv sin xdx, v cos x

u e x , du e x dx

cos xdx

cos x

sin x

v cos x

e x sin xdx.

Получили интеграл равный данному. Обозначив его за J, получим равенство J e x sin x cos x J . Перенеся J в ле-

вую часть равенства, имеем 2J e x sin x cos x .

В результате ex sin xdx ex sin x cos x c . 2

2.6. Рациональные дроби. Простейшие рациональные дроби и их интегрирование

Всякую рациональную функцию можно представить в виде рациональной дроби, т.е. в виде отношения двух много-

P x

x a

x 2

... a

x n

членов:

Qm x

b x b x 2

... b

x m

Если степень числителя меньше степени знаменателя, то

дробь правильная. В противном случае дробь называется неправильной. Неправильную дробь путём деления числителя на

знаменатель всегда можно представить в виде суммы много-
члена и правильной рациональной дроби:
	Pn x				Pk	x
				N x			k m .
	Q	m	x	N x	P	x	k m .
		m			m

Пример. Вычислить интеграл x5 dx. x2 1

Решение. Подынтегральная функция представляет собой неправильную дробь. Разделив числитель на знаменатель, вы-

делим целую часть:

x 3

, Тогда

x 2 1

x 2

ln x2

1 c.

dx x3

2 2

Таким образом, интегрирование неправильной рациональной дроби всегда может быть сведено к интегрированию

многочлена и правильной рациональной дроби. Интегрирование многочлена не представляет труда, поэтому рассмотрим интегрирование правильной рациональной дроби.

Определение. Правильные рациональные дроби вида

I.	A	; II.	A	; III.	Ax B	; IV.		Ax B	;

	x a		x a k		x 2 px q		x 2	px q k

где A, B, р, q – действительные числа, а трёхчлен x2 + px +q

не имеет действительных корней, т.е. D = p 2 4q 0 называ-

ются простейшими дробями I, II, III

и IV типов.

Проинтегрируем простейшие дроби I, II, III:

x a

dx A

Aln

x a

c .

x a

x a k 1

II.

dx A x a k d x a

x a

k 1

k 1 x a k 1

III.Рассмотрим интеграл

Ax B

dx .

x2 px q

Выделим в числителе производную знаменателя

px q

2x p 2 x

2x p B

x 2 px q

2x p dx

x 2 px q

2 x 2 px q

x 2 px q

Рассмотрим отдельно второй интеграл

x 2

px q

Выделим

знаменателе

полный

квадрат

d x

x 2 px q

p 2

arctg

c. z

; q

2 .

z 2 2

Окончательно получим:

I 3

px q

c ,

arctg

p 2

Пример.

Вычислить

неопределенный

интеграл:

2x 2 2

2x 2 dx

x 3

2x 2

x 1

12 ln x2 2x 2 2arctg x 1 c.

IV. Интеграл от дроби этого типа выражается через сумму дробно – рациональных функций и арктангенс.

Источник: https://studfile.net/preview/16565860/

Смотрите также:

_3 тема - Диффузия
02_ЛР
05. Частная патология ССС - Инфаркт миокарда
0501 Конунников ЛР10-3
07
07-20-FunctionGenomApplic-Metagenom
07. ПА_Лекция 7_Патология энд.жел
09_ЛР
1 Нет ответа Балл 1,0 Отметить вопрос
1 ответ