Материал: Руководство к проведению практических занятий по курсу «Математика» во втором семестре. Бырдин А.П., Сидоренко А.А

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

f x dx f x ;

2)дифференциал от неопределённого интеграла равен

подынтегральному выражению: d f x dx f x dx .

3) неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная посто-

янная: dF(x)=F(x)+С.

2.2. Таблица неопределённых интегралов

1. xadx xa 1 c a 1 . a 1

2. dxx ln x c x 0 .

3. axdx ax c a 0;a 1 . ln a

4.exdx ex c .

5.sin xdx cos x c .

6.cos xdx sin x c .

7.

 

dx

tgx c .

 

 

 

 

 

cos2 x

 

8.

 

 

dx

ctgx c .

 

 

 

 

 

sin2 x

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arcsin x c

 

9.

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

1 x2

 

arccos x c

 

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

arcsin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

10.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a 2 x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arccos

 

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

11.

 

 

 

 

arctgx c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arcctgx c .

 

 

1 x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arctg

 

 

 

 

c

 

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a 2 x 2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arcctg

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

13.

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln

x

x2

 

a 2

c .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 a

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a x

 

 

 

 

 

 

14.

 

 

 

dx

 

 

 

 

1

 

 

 

c .

 

 

 

 

 

 

 

ln

 

 

 

 

a

2

2

 

 

2a

a x

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Так как интегрирование есть операция обратная дифференцированию, то прочитав таблицу интегралов справа налево, получим таблицу производных.

Интегралы, содержащиеся в таблице, называются табличными. Вычисление интеграла сводится к последовательным операциям, результатом которых является приведение заданного интеграла к табличному (если это возможно).

2.3. Основные свойства неопределённого интеграла

1. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределённого интеграла:

Af x dx A f x dx .

2.Неопределённый интеграл от алгебраической суммы двух или нескольких функций равен сумме неопределённых интегралов от слагаемых:

11

f x g x dx f x dx g x dx

(верно для любого конечного числа слагаемых). 3. Если f x dx F x c , то

f x b dx F x b c ;

f ax dx 1a F ax c ;

f ax b dx a1 F ax b c .

Примеры. Вычислить неопределенные интегралы:

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

x 3 x 2 x x 1

 

1 x

 

 

dx

x

 

x 2

dx

1.

2

 

 

x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xdx dx x

1

dx x 2 dx

 

 

 

2

 

x2

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2 x

 

c .

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

x 2

1 dx

 

xdx

dx

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

x

 

 

3.

 

dx

 

ln

 

x 5

 

c .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

 

 

dx

 

1

 

tg3x c .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

2

3x

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

x 2

 

 

 

 

 

 

 

1

x 2

 

 

x

x

 

 

 

 

 

 

 

 

c =

 

 

 

 

 

 

 

2

 

1

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

x 2 ln x c . 2

5. sin(2x 1)dx 12 cos(2x 1) c.

12

2.4. Интегрирование с помощью замены переменной

Одним из самых распространенных методов интегрирования является метод замены переменной.

Пусть надо вычислить интеграл f(x)dx, который не яв-

ляется табличным.

Часто его можно упростить, введя вместо х новую переменную t, положив

x = φ(t) и dx = φ′(t)dt.

Предположим, что ƒ(х) непрерывна на некотором промежутке оси Ох, а функции φ(t) и φ′(t) непрерывны на соответствующем промежутке изменения t. Тогда

f x dx f t t dt .

(2.1)

Функцию x = φ(t) следует выбирать так, чтобы можно было вычислить неопределенный интеграл, стоящий в правой

части равенства (2.1).

 

Однако чаще

употребляют обратную замену

x t ; x dx dt ,

то есть заменяют ту функцию, стоящую

под интегралом, дифференциал (производную) от которой, мы

видим

 

стоящим

 

 

под

 

 

 

 

этим

 

 

интегралом:

 

f x

 

f (x) t

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

f x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

ln

t

c ln

 

c .

f x

 

f (x)dx dt

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Примеры.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. (sin x) cos xdx

 

 

sin x t

 

t

 

t 1

 

 

 

cos xdx dt

 

dt

 

c

 

1

sin x 1 c.

1

13

2. e x sin e x dx

 

 

 

e x t

 

 

sin tdt

 

cos t c cos e x c .

 

e x dx dt

 

 

3. 2xe x

2

dx

 

 

x

2

t

 

 

et dt e x

2

c .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2xdx dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin x t

 

 

1

 

 

 

 

 

t

32

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

 

sin x cos xdx

 

 

t 2 dt

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos xdx dt

 

32

 

 

 

 

(sin x) 32

 

c.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

32

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

 

 

xdx

 

 

 

 

 

x 2

1 t

 

 

1

 

dt

 

 

1

 

ln

 

t

 

 

c

1

ln x 2 1 c .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

1

 

2xdx dt

 

2

t

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6..

 

 

 

xdx

 

 

 

 

 

 

 

x 2

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xdx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 x

4

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 t 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2 4

x 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln

t

 

 

C

 

ln

 

C .

2

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

4 t 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.5. Правило интегрирования по частям

Пусть функции u = u(x) и v = v(x) имеют непрерывные производные. Тогда по правилу дифференцирования произведения имеем: d uv vdu udv .

Интегрировав обе части равенства по х, имеем

d uv vdu udv,

uv vdu udv,

udv uv vdu

14

Источник: https://studfile.net/preview/16565860/

Смотрите также:

_3 тема - Диффузия
02_ЛР
05. Частная патология ССС - Инфаркт миокарда
0501 Конунников ЛР10-3
07
07-20-FunctionGenomApplic-Metagenom
07. ПА_Лекция 7_Патология энд.жел
09_ЛР
1 Нет ответа Балл 1,0 Отметить вопрос
1 ответ