Документ: Ряды Фурье (120, страницы 16-20

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

1

0

nx

1

0

nx

bn =

xsin

π

dx

= −

dcos

π

=

3

πnx

3

−3

0

−3

=− π1n

xcos

π3

0

3

cos

π3

dx =

−

nx

3

nx

−

33

=− πn cos πn = πn(−1)n−1.

Итак,

f(x) −

3

∞

1−

(−1)n

nx

+

2

+n=1 π23n2

cos π3

+ π3n(−1)n−1 sin π3

.

nx

Однако из теоремы 3 следует, что

−

3

,

x = −3;

2

S(x) = x,

−3 < x < 0;

0

x < 3;

0,

2,

≤

−

x = 3;

3

S(x) = S(x+6).

Задача 5 (скорость убывания коэффициентов Фурье). Рассмотрим 2l-периодическую непрерывно дифференцируемую функцию f(x) (т. е. функция f(x) дифференцируема во всех точках, и ее про-

изводная всюду непрерывна). Доказать, что
1		,
an,bn = O			n → ∞,
an,bn = O	n		n → ∞,
				M		M
т. е. что существует такое число M > 0, что \|an\| ≤					и \|bn\| ≤
т. е. что существует такое число M > 0, что \|an\| ≤				n	и \|bn\| ≤	n
для всех n.
16

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Р е ш е н и е. Используем интегрирование по частям:

1

l

πnx

an =

f(x)cos

dx =

l

−l

l

1

πnx

l

1

πnx

=

f(x)sin

l −

sin

f (x)dx.

πn

l

πn

l

−

l

Поскольку

l

π1nf(x)sin πnxl

l

= 0,

то

−

l

|an| ≤ π1n

sin πnxl f (x) dx ≤ π1n

f (x) dx =

n

,

l

M

−

где

l

1

M = π

−l

f (x) dx.

Аналогично можно получить оценку для bn.

Упражнение 5. Закончить решение задачи 5. Доказать, что если f(x) дважды непрерывно дифференцируемая 2l-периодическая

1

функция, то an,bn = O n2 .

Задача 6. Доказать, что ряд Фурье дважды непрерывно дифференцируемой 2l-периодической функции сходится абсолютно на R.

Р е ш е н и е. Рассмотрим ряд

a0

+

2

∞	an cos nlπx	+	bn sin nlπx .	(13)
n=1	an cos nlπx	+	bn sin nlπx .	(13)

Члены этого ряда не превосходят соответствующие члены ряда

a20	∞	2nM2	(14)
a20	+n=1	2nM2	(14)

			17

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

∞

1

(см. упражнение 5). Ряд (14) сходится (как ряд Дирихле n=1 n2 ).

Следовательно, по признаку сравнения ряд (13) сходится, а ряд

Фурье сходится абсолютно.

Задача 7. Функцию

f(x) = π −|x|, −π < x < π

разложить в тригонометрический ряд Фурье.

Р е ш е н и е. Функция f(x) четна, поэтому (см. разд. 5)

bn = 0,

и

2

0

π

(π −x)dx = π;

a0 =

π

an = π

π

+

(π −x)cosnxdx = πn(π −x)sinnx 0

2

0

π

+ πn

sinnxdx = −

=

πn2 cosnx 0

πn2 1−(−1)n .

2

0

Поскольку функция f(x) непрерывна всюду, то, согласно теореме 3, справедливо равенство

π x =	π	+	4	∞	cos(2m−1)x			,		π < x < π.
									−
−\| \| 2						−	1)2
			π m=1 (2m

Задача 8. Аппроксимировать функцию из задачи 7 тригонометрическим полиномом третьего порядка и найти среднее квадратичное отклонение.

Р е ш е н и е. Согласно теореме 1 наилучшую аппроксимацию функции f(x) = π −|x| среди всех тригонометрических полиномов третьего порядка дает частичная сумма ее ряда Фурье. Таким образом,

π −\|x\| ≈ S3(x) =	π	2		3	1

	2	+	π	n=1	n2	1−(−1)n	cosnx =
				n=1

18

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

	π		4		1
=		+		(cosx+		cos3x)
	2		π		9

при −π < x < π.

Найдем среднее квадратичное отклонение, используя теорему 1:

δ2 = 2

π

(π −|x|)2 dx−

20

−a12

−a32

=

π

1

a2

−π

2

8

=

1

π2 −

π

−

,

3

4

π2

81π2

откуда δ ≈ 0,0438.

Задача 9. Функцию, определяемую на отрезке [−π, π] с помощью ряда Фурье

∞	1−n(−2	n	cosnx+ 1+n(−2	1)	n
S(x) = n=1	1−n(−2	1)	cosnx+ 1+n(−2	1)		sinnx ,

приблизить тригонометрическим полиномом второй степени и оценить среднее квадратичное отклонение.

Р е ш е н и е. Из задачи 6 следует, что ряд сходится абсолютно на R. Далее, согласно теореме 1, в качестве аппроксимирующего полинома следует взять частичную сумму ряда

1 S2(x) = 2cosx+ 2 sin2x.

Для оценки среднего квадратичного отклонения используем формулу из теоремы 1:

δ2

1

∞

=

a2

+b2

=

2 n=3

n

∞ 1

< 2

∞ dx

+ 314

=

2

+

2

=

20

,

= 2n=3 n4

x4

9

81

3

√

.

или δ <

20

9

19

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Задача 10. Функцию


f(x) = 1, 0π< x <				π
						;
				2
0,		< x < π
	2							.
разложить в ряд по косинусам на отрезке					,		π]
			[0
Р е ш е н и е. Доопределим функцию так, чтобы она бы-

ла четной на отрезке [−π, π], а именно: положим f(x) = 0 при

−π < x ≤ −

π

и f(x) = 1 при

−

< x <

0. Теперь (см. разд. 4),

2

a0

∞

f(x)

2

+n=1 an cosnx,

где

π

2

f(x)dx =

2

a0 =

dx = 1;

π

2

2 an = π

0

Итак,

0	0
		π		π
cosnxdx =	2		2
	2		2
	πn sinnx 02 =		πn sinn	2.

f(x)	1+	2	∞	(−1)m+1			cos(2m		1)x.

				2m	−	1		−
		π m=1
Задача 11. Разложить y = cosx в ряд по синусам на отрез-
ке [0, π].
Р е ш е н и е.	Доопределим функцию так, чтобы она была

нечетной на отрезке [−π, π], а именно: положим y = −cosx при −π < x < 0. Теперь (см. разд. 4)

∞

f(x) = bn sinnx,

n=1

20

Материал: Ряды Фурье (120

Смотрите также: