Материал: Симметрические уравнения

А что если задать возмущение одного из параметров, т. е. изменить его на небольшую величину? Например, пусть= 1.001. Построим график уравнения с возмущенным

параметром: ( ) = 3 − 3 2 + 3 · 1.001 − 1. Окажется,

что он визуально неотличим от изображенного на рис. 7 и также пересекает ось абсцисс только в одной точке. Может, и в этом случае у системы будет единственное решение? Нет! Многочлен с возмущенным коэффициентом имеет один вещественный и два комплексных корня. При любом малом возмущении параметров и появляются комплексные корни, и потому система не имеет вещественного решения.

Пример 32. Определить, при каких значениях параметра система не имеет вещественных решений; имеет ровно три; ровно шесть вещественных решений.

+ + = −32 ,

+ + = −6,

= .

Решение. Решениями системы уравнений будут все вещественные тройки чисел ( ; ; ), являющиеся корнями мно-

гочлена ( ) = 3+ 32 2−6 − . Определим вспомогательный многочлен ( ) = 3 + 32 2 − 6 . Его график представлен на

рис. 8. Очевидно, ( ) = ( ) − .

Рис. 8. График многочлена ( )

Производная ′( ) = 3 2 − 3 − 6 = 3( − 2)( + 1). Отсюда

(−∞; −1) (2; +∞) – область возрастания функции; (−1; 2)

– область убывания функции; (−1) – точка максимума;

2 – точка минимума. График ( ) получается смещением графика ( ) вверх или вниз в зависимости от знака . На рис. 9а показан график функции ( ) − 3.5, а на рис. 9б – график функции ( ) + 10. Графики соответствуют случаям, когда ( ) имеет три вещественных корня, два из которых кратны (при = 3.5 или = −10). Тогда при

(−10; 3.5) ось пересечет график функции в трех точках – три различных корня, а при (−∞; −10) (3.5; +∞) – только один вещественный корень. Теперь мы можем сформулировать ответ.

Рис. 9. Графики многочленов: а) ( ) − 3.5; б) ( ) + 10

Ответ: при (−∞; −10) (3.5; +∞) система не имеет

вещественных решений; при = 3.5 и = −10 имеет ров-

но три вещественных решения; при (−10; 3.5) – ровно

шесть.

Пример 33. При каких значениях параметра система имеет ровно одно решение?

+ + = 3 ,

+ + = 6 ,

= 4 .

Решение. Решение будет единственным, если все три корня многочлена 3 −3 2 +6 −4 совпадают. В таком

Таким образом, возможны два случая: при = 0 существует единственное решение (0; 0; 0) и при = 2 – (2; 2; 2).

Ответ: = 0 и = 2.

Теорему Виета можно обобщить на многочлены любой степени. Так, для корней многочлена четвертой степени

4 + 3 + 2 + + = ( − 1)( − 2)( − 3)( − 4)

имеют место равенства:

Предоставляем читателю возможность самому определить принцип построения таких систем уравнений.