Материал: Симметрические уравнения

56 Теория, примеры и задачи

переменных , и получается выражение, тождествен-

ное исходному.

Определение 9. Многочлены 1 = + + ,

2 = + + и 3 = – элементарные симметрические многочлены от переменных , и .

Приведем без доказательства две теоремы.

Теорема 6. Если в любом многочлене ( 1, 2, 3) вместо

1, 2 и 3 подставить соответственно + + , + +

и , то получится симметрический многочлен.

Теорема 7. Любой симметрический многочлен от , и

можно представить в виде многочлена от 1 = + + ,

2 = + + и 3 = . В частности:

+ + = 1,

Еще три полезных тождества:

2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 1 2 − 3 3,

2 2 + 2 2 + 2 2 = 22 − 2 1 3,

3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 12 2 − 2 22 − 1 3.

(7)

Определение 10. Уравнение, в которое входят только симметрические по заданному набору переменных выражения, будем называть симметрическим.

Пример 24.

+ + = −2,

+ + = −5,

= 6.

Решение. Согласно обратной теореме Виета , и долж-

ны быть корнями многочлена 3 + 2 2 −5 −6. Ищем целые

корни среди делителей свободного члена (−6). Подстанов-

ка показывает, что одним из корней будет 1 = −1. В таком случае наш многочлен должен без остатка делиться на + 1.

Найдем корни частного 2 + − 6 и запишем:

3 + 2 2 − 5 − 6 = ( + 1)( 2 + − 6) = ( + 1)( + 3)( − 2).

Таким образом, многочлен имеет три корня: 1 = −1,2 = −3 и 3 = 2. В силу симметричности системы уравнений, ее решениями будут все возможные перестановки этих значений: 1 = −1, 1 = −3, 1 = 2; 2 = −1, 2 = 2,2 = −3 и т. д.

Ответ: (−1; −3; 2), (−1; 2; −3), (−3; −1; 2), (−3; 2; −1),

(2; −1; −3), (2; −3; −1).

Пример 25.

+ + = 3,

+ + = 1,

= −2.

Решение: , и должны быть корнями многочлена3−3 2+ +2. Ищем целые корни среди делителей свободного члена 2. Подстановка показывает, что одним из корней будет 1 = 2. В таком случае наш многочлен должен без остатка делиться на ( − 2).

− 2 + − 2+2

− +2

− +2

0

( √ )( √ )

3 − 3 2 + + 2 = ( − 2) − 1 − 5 − 1 + 5 . 2 2

В силу симметричности системы уравнений, ее решениями

= = . Из условия + + = 3 следует = = = 1.

Ответ: (1; 1; 1).

Пример 27.

+ + = 6,

2 + 2 + 2 = 12,

4 + 4 + 4 = 48.