Материал: Симметрические уравнения
§ 3. Cистемы трех уравнений |
|
|
|
61 |
||||
|
||||||||
Решение. Воспользуемся формулами (6) на с. 56. |
||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
+ + = 1, |
|
1 |
= 6, |
|
|
|
|
+ + = 2, |
1 |
− |
2 2 = 12, |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
− |
2 |
2 |
+ 4 1 3 |
= 48. |
= 3; |
1 |
4 1 2 |
+ 2 2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Применяя поочередную подстановку, находим 1, 2, 3.
1 = 6, |
+ + = 6, |
2 = 12, |
+ + = 12, |
3 = 8. |
= 8. |
Значения , и должны быть корнями многочлена
3 − 6 2 + 12 − 8 ( − 2)3 = 0. Три совпадающих корня. Следовательно, = = = 2.
Ответ: (2; 2; 2).
Пример 28.
+ + = 2,
( + )( + ) + ( + )( + ) + ( + )( + ) = 1,
2( + ) + 2( + ) + 2( + ) = −6.
Решение. Раскроем скобки во втором и третьем уравнениях системы и обратимся к формулам (6) и (7) на с. 56.
62 |
|
|
|
|
Теория, примеры и задачи |
||
|
|
|
|||||
Систему можно переписать в виде |
|
|
|||||
1 = 2, |
2 |
|
2 2 = 1, |
1 = 6, |
1 = 6, |
||
3 2 + 1 |
− |
2 |
= 3, |
2 = 3, |
|||
|
|
|
|
− |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 − 3 3 |
= −6; |
−6 − 3 3 = −6; |
3 = 0. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Значения |
, |
и должны быть корнями |
многочлена |
||||
3 − 2 2 − 3 = ( 2 − 2 − 3) 1 = 0, 2 = −1, 3 = 3.
Ответ: (−1; 0; 3), (−1; 3; 0), (0; −1; 3), (0; 3; −1), (3; −1; 0),
(3; 0; −1).
Пример 29.
2 + 2 + 2 = 12,
+ + = 12.
Решение. Вычтем из левой части первого уравнения левую часть второго, соответственно – из правой правую.
2 + 2 + 2 − + + = 0,
+ + = 12.
Умножим левую и правую части первого уравнения на 2.
2 2 + 2 2 + 2 2 − 2 + 2 + 2 = 0
( 2 − 2 + 2) + ( 2 − 2 + 2) + ( 2 − 2 + 2) = 0
( − )2 + ( − )2 + ( − )2 = 0 = = . Подставив
§ 3. Cистемы трех уравнений |
63 |
|
|
в уравнение 2 + 2 + 2 = 12 переменную вместо и , получим: 3 2 − 12 = ±2.
Ответ: (2; 2; 2), (−2; −2; −2).
Пример 30. Решить систему уравнений с параметром :
+ + = 2,
2 + 2 + 2 = ,
3 + 3 + 3 = 8.
Решение. Обратимся к формулам (6) на с. 56.
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|||||||
|
1 |
= 2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 = 2, |
|
|
||||||||||
1 |
− |
2 2 = , |
|
|
|
|
2 = −2 , |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
− 3 1 3 + 3 3 = 8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1 |
|
|
|
3 = 4 − . |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4−2 |
|
|
|||
3 − 2 2 + |
− (4 − ) = 0 |
( − 2) |
2 + |
= 0. Все |
|||||||||||||||||||||
корни будут вещественными только |
при |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
4−2 |
|
≤ 0), т. е. при |
|||||
: |
|
|
|
|
|
2 = − |
|
−4 |
, 3 |
= |
|
−4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
≥ 4 1 = 2, |
2 |
|
|
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Ответ: при < 4 |
система не имеет решений, |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
√ |
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
при |
= 4 : (2; 0; 0), (0; 2; 0), (0; 0; 2), |
|
||||||||
|
|
|
(2; −√ |
|
|
; √ |
|
|
), |
(2; √ |
при |
|
> 4 : |
−2 |
4 |
−2 |
4 |
||||
−4 2
√
; −
−4 2
)
,
(−√ |
|
|
; 2; √ |
|
|
), |
( √ |
|
|
; 2; −√ |
|
|
), |
(−√ |
|
|
|
√ |
|
|
; 2), |
||
4−2 |
4−2 |
|
−2 |
|
−2 |
|
−2 |
; |
|
−2 |
|||||||||||||
|
|
4 |
|
|
4 |
|
|
4 |
|
4 |
|
|
4 |
|
|
4 |
|
||||||
( √ |
|
|
; −√ |
|
|
; 2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
−2 |
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
64 |
Теория, примеры и задачи |
|
|
Следующие три примера рассчитаны на «продвинутого» старшеклассника, дружащего с комплексными числами и производными.
Пример 31. Определить, при каких значениях параметров и система имеет ровно одно вещественное решение и найти это решение.
+ + = 3 ,
+ + = 3 ,
= 1.
Решение. Рассмотрим многочлен
( ) = 3 − 3 2 + 3 − 1. |
(8) |
Из теории известно, что многочлен 3-й степени может иметь один или три вещественных корня. Если вещественный корень один (два других комплексные), то система не имеет вещественных решений. Если многочлен имеет три вещественных корня: 1, 2 и 3, то решениями исход- ной системы уравнений будут тройки ( ; ; ), полученные из всех возможных перестановок 1, 2 и 3. В частности, если мы имеем три различных корня, система будет иметь 3! = 6 решений. Одно решение возможно только тогда,
§ 3. Cистемы трех уравнений |
65 |
|
|
когда все три корня совпадают, т. е. многочлен можно представить в виде
( ) = ( − )3 = 3 − 3 2 + 3 2 − 3. |
(9) |
Приравняем коэффициеты в правых частях уравнений
8 и 9: |
−3 = −3 , |
|
= 1, |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 = 3 2 |
= 1, |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 3 |
= −1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 1. |
|
|
|||
|
|
|
= 1 |
= 1 |
|
|
1 = 2 |
= 3 |
= 1 |
Таким образом, |
|
|
|
и |
|
|
. |
||
( ) = 3 − 3 2 + 3 − 1. График функции ( ) представлен на рис. 7.
Рис. 7. График многочлена ( )
Ответ. Только при условии ( = 1)&( = 1) система имеет ровно одно решение: = = = 1.