Материал: Симметрические уравнения

§ 1. Системы двух уравнений

21

+ ≥ 0 и | + |= + .

+ + 4 = 6,

+

3

2

3 + 3 = 0.

= 3,

+ = 3;

=

.

−

4

4

= 6. 2 1,2 = 3 ± √

(2 )2 − 6(2 ) + 3 =

0. /4 = 9 − 3

6

.

√

1,2 =

3± 6

2 .

Ответ: (

3−2√

;

3+√

),

(

3+√

;

3−2√

).

6

6

6

6

2

2

2 2

2

2

2 2

(

2

2 2

= 468.

( + )( 2 + 2) = 13,

+ 2)

(

+ ) = 468.

( + )(

+ )

13

+ = ,

2 2

=

36. Введем обозначения:

+

= .

22

Теория, примеры и задачи

2 =236 ,

2 = 36 2,

2

2

2

2

(

− 2 ) = 468;

((36 ) − 2 · 36

) = 468 · 36 .

(

4

2

36

) = 13

6

2

36

13

36 = 0

2

−

·

2

·

363

−

·

2 3

−

·

3 .

Введем обозначение: = 3. Тогда

2 −2 ·362 −13 ·363 = 0.

1,2

= 1 296

1·

512

·

1

=

√

2

= 2 808.

216,

/4 = 364

+ 13

363

= 363

49

/4 = 63

· 7 = 1 512.

±

−

= 3 = √3

1 = −6,

2 = 6√3

.

13

1. 36 = 2,

= 1,

+ = 1,

=

−

6;

=

−

6;

= 6.

−

Откуда следуют два решения: (3; −2) и (−2; 3).

2. 36 =3 ,

= 13

2

,

1

+ = 131 ,

2

3

3

= 6√

= 6 · 133 ;

= 6 · 133 .

13;

и

3

3

2

2

1

ищем

как

корни уравнения

− 13 + 6 · 13

.

4

1

1

= 133

− 24 · 133

= 133 (13 − 24) < 0.

Решений нет.

Ответ: (3; −2) и (−2; 3).

Пример 12.

4

+

2

2

4

2

+ 2

= 49,

+

+

= 931.

§ 1. Системы двух уравнений

23

Решение:

2

2 + + 2

= 49,

+ + 2

= 49,

2

+ + 2 = 49,

+

2

= 34,

( + )

− 2 = 34,

2

2

2

2

−

+ = 19;

= 15;

= 15.

( + )2 = 64,

1.

+ = −8,

2.

+ = 8,

= 15.

= 15.

= 15.

4 (

2

2

+

) − 6

(

+

) = 2,

2

2

2

+

2

= 5.

2

2

2

Решение. Заметим, что

+

= (

+

)

− 2. Тогда

2

2

первое уравнение примет вид

4 (

+

2

− 2)

− 6

+ = 2.

(

)

(

)

24

Теория, примеры и задачи

Пусть

+

= . После элементарных преобразований

= 02. Корни: 1 = −1, 2 = 25 .

получим:

4 2

− 6 − 10

2

Заметив, что

+

=

+

, рассмотрим два случая:

2

+ 2

= −1,

2 + 2 = 5,

( + )2 = −5,

1.

2

+

2

= 5;

=

5;

=

5.

−

−

2

+ 2

=

5

,

2 + 2 = 5,

+ = ±3,

2.

2

2

+

2

= 5;

= 2;

= 2.

§ 1. Системы двух уравнений

25

Решение:

4+

(

4

) − 2

+

4

+

4

= 274

4

4 2

4 4

,

= 16.

(

4+

4

)

+

4

+

4

− 306 = 0

4

4

2

,

= 16.

Обозначим = 4 + 4.

≥

0. 2

+

−

306 = 0. Заметим,

что 306 = 17 ·18. 1

= −18, 2 = 17. Отрицательный корень

отбрасываем. Тогда

4 4

2

17 + 16 = 0. 1 = 1,

2 = 16.

4

+ 4 = 17,

= 16.

−

4

= 1,

=

1,

1. 4

= 16;

=

±2.

±

4

= 16,

=

2,

2. 4

= 1;

=

±1.

±