Материал: Спецглавы математики. учеб.-метод. пособие. Карпеев Д.О., Олейниченко Д.Г

5.2.Меры эффективности на основе шанса и риска

Широко распространены оценки эффективности систем в контексте обеспечения их безопасности на основе исследования рисков. Однако такой подход страдает однобокостью, ибо зачастую не учитывает основные функции систем, приносящие позитивный эффект, который в общем случае так же, как и риск, носит стохастический характер. В этой связи представляется возможным описание системы в виде диаграммы (рис. 2.3).

Оценка эффективности является основой для принятия управленческих решений. Как правило она сопряжена с поиском соотношения между позитивным результатом и затратами на его получение. Попытаемся найти также соотношения с использованием понятий шанса и риска, в связи с чем применим следующие обозначения для элементарной операции системы:

- польза, извлекаемая в ходе выполнения элементарной операции;

- максимально допустимое значение пользы при выполнении элементарной операции в рассматриваемом состоянии системы (превышение этого значения переводит систему в качественно новое состояние: монополия, суперэксплуатация и т.п.);

- нормированная польза;

- вероятность извлечение пользы величины v;

- матожидание пользы при ограничении ;

– дисперсия пользы при ограничении ;

- среднеквадратичное отклонение пользы;

Сh – шанс извлечения пользы, где элементарный шанс в точке v может быть определен произведением ;

– интегральная мера шанса (частенько для диапазонных оценок, например закона трех сигм в случае нормального распределения ;

- ущерб, получающийся в ходе выполнения элементарной операции;

- максимально допустимое значение ущерба при выполнении элементарной операции в рассматриваемом состоянии системы (превышение этого значения повлечет переход системы в качественно иное состояние: утрата работоспособности, снижение функциональных возможностей и т.п.);

- нормированное значение ущерба;

- вероятность наступления ущерба величины u;

- матожидание ущерба при ограничении ;

– дисперсия ущерба при ограничении ;

- среднеквадратичное отклонение ущерба;

Risk – риск наступления ущерба, где элементарный риск в точке u может быть найден произведением ;

– интегральная мера риска при выполнении операции, где определяется аналогично подходам, описанным для шанса.

Вышеприведенные обозначения представлены для дискретных распределений. Однако непрерывные распределения могут быть также сведены к подобному виду путем их дискретизации [86-87]. В нормированном виде шаг дискретизации составит:

– для расчета риска ;

– для шанса ;

n- количество дискрет на интервале (0,1) дискретизированных значений ущерба и пользы.

Рис. 2.3. Обобщенная картина распределения шанса и риска в нормированном виде

Примененные обозначения позволяют качественно описать картину возникновения шансов и рисков в виде диаграммы (рис. 2.3). Здесь огибающие риска и шанса ограничиваются диагональной асимптотой (умножение вероятности на ) единичных (продукт нормировки) квадратов. Полученные треугольники могут оказаться полезными для оценок эффективности с точки зрения шанса и риска системы (рис. 2.4 и 2.5). В частности площади сегментов (рис. 2.4 и 2.5) могут охарактеризовать нам:

- суммарный риск элементарной операции в рассматриваемом состоянии;

- суммарный нереализованный риск элементарной операции системы в рассматриваемом состоянии;

- суммарный шанс элементарной системы в рассматриваемом состоянии;

- суммарную неиспользованную выгоду элементарной операции системы в рассматриваемом состоянии.

При этом имеют место следующие инварианты:

и .

С учетом вышеизложенного в виде соответствующих отношений представляется возможность оценить:

- коэффициент защищенности;

– коэффициент полезности; (2.1)

– коэффициент эффективности (отношение шанс/риск).

Выражение (2.1) с помощью вышеприведенных инвариантов можно переписать в следующем виде:

;

.

Представленные площади в первом приближении могут быть вычислены с помощью выражений:

;

,

где величины этих площадей фактически равны средним значениям риска и шанса на интервале (0,1) нормированных ущербов и пользы . Отсюда для инженерных расчетов коэффициенты (2.1) приближенно можно найти в следующем виде:

;

;

.

Для интегральных оценок эффективности необходимо ввести параметр суммарных затрат Z, обеспечивающих полезность и защищенность системы в рассматриваемом состоянии. При этом будем полагать, что размерность ущерба, пользы и упомянутых затрат представляется возможным привести к неким единым условным единицам. Тогда интегральную эффективность элементарной операции системы в данном состоянии предлагается оценить с помощью следующего выражения:

или в относительных единицах

.

Осуществляя подстановки, имеем:

(2.2)

При выражение (2.2) может быть преобразовано к следующему виду:

Отсюда открывается возможность для диапазонной оценки эффективности. Полагая, что в априори и , можно найти нижнюю и верхнюю границы значений эффективности:

;

элементарной операции в рассматриваемом состоянии. Динамику эффективности можно проследить из рис. 2.6 и 2.7.

Рассмотрим методику оценки эффективности в случае выполнения системой серии элементарных операций, в связи с чем введем следующие обозначения:

N- количество элементарных операции в серии;

- максимально допустимое количество элементарных операций системы (до ее модернизации, ремонта, перехода в качественно иное состояние и т.п.), характеризующее жизненный цикл системы в данном состоянии;

- матожидание количества деструктивных операций в серии;

- стартовые затраты на запуск системы в рассматриваемом состоянии;

- текущие затраты на реализацию элементарной операции;

- приведенные (на элементарную операцию) стартовые затраты.

Используя выражение (2.2) и полагая, что переменные находятся в единой размерности, сформулируем выражение оценки эффективности для серии элементарных операций:

(2.3)

Из выражения (2.3) можно получить оценки эффективности для нижней границы , верхней границы и среднего уровня эффективности системы при выполнении N операций.