Материал: Специализированные исполнительные устройства (Динамический расчет робототехнических систем). Литвиненко А.М., Машаров А.В

– моменты инерции относительно плоскостей (x2i, x3i), (x1i, x3i), (x1i, x2i) соответственно;

– центробежные моменты.

Заметим, что для систем координат, связанных со звеньями, матрицы Hi, i=1,…,n, могут иметь совершенно произвольный вид, за исключением того, что они будут симметрическими. Если в качестве таких систем координат выбрать системы координат, оси которых являются осями главных эллипсоидов инерции звеньев, то матрицы Hi, i=1,…,n, будут иметь диагональный вид.

П р и м е р 4.1. Рассмотрим i-е звено манипулятора, являющееся однородной трубкой длины li, массы mi с внутренним и внешним радиусами R1i, R2i соответственно (i=1,…,n). Пусть система координат (x1i, x2i, x3i) выбраны так, что если

дольной оси звена или поступательное перемещение звена относительно его продольной оси, то ось x3i будет идти по оси i- го звена и

если сочленение Pi относится к типу, осуществляющее

вращение звена относительно оси, перпендикулярной оси звена, то ось x2i будет идти по оси i-го звена и

Потенциальная энергия П манипулятора с грузом, очевидно, определяется формулой

где g – ускорение силы тяжести, 3 (0, 0, 1, 0)*, mi –

масса i-го звена, rc, i – радиус-вектор центра масс i-го звена в системе координат, связанной с этим звеном i=1,…,n.

Определим производные Т и П для уравнений (4.1). Так

как

(здесь матрицы Bi j , как и матрицы Bijl ниже, определены формулами

и

где Mп,k – момент силы или усилие на выходе k-го привода; Mв k – внешний возмущающий момент или усилие, отнесенные к k-й обобщенной координате.

Перегруппировывая слагаемые в формуле (4.10), получим окончательный вид уравнений Лагранжа:

76

Уравнение (4.11) можно более коротко переписать в виде

A(q, )q b(q, q, ) M, (4.25)

где - вектор параметров манипулятора и перемещаемого им груза (длины звеньев, масса и моменты инерции звеньев,

i 1 j i

при этом второе слагаемое является моментом (усилием) в k-м сочленении, создаваемым весом нагрузки на валу k-го сочленения, от (k+1)-го, (k+2)-го, …, n-го звеньев манипулятора и груза.

Та простота, с которой мы можем находить положение и ориентацию звеньев манипулятора, т. е. вид матрицы Ti, существенно зависит от выбора системы координат звеньев Oi X iYi Zi . Рассмотрим способ построение системы координат,

77

Рис. 3

предложенный Денавитом и Хартенбергом в 1955 г., который в настоящее время широко используют при построении кинематической модели манипулятора.

Построение системы координат Денавита – Хартенберга для манипулятора с N степенями подвижности (N+1 звено) опишем виде алгоритма, состоящего в выполнении следующей последовательности шагов (рис. 3).

Шаг 1. Построение абсолютной системы координат. Построить правую ортогональную систему координат

O0 X 0Y0 Z 0 , направив Z0 вдоль оси первого сочленения в на-

правлении схвата.

Шаг 2. Инициализация и цикл.

Для всех i=1, 2, …, N выполнить шаги 3-6. Шаг 3. Построение Zi.

Направить ось Zi вдоль оси (i+1)–го шарнира. При i=N (т. е. для схвата) выберем ось ZN в направлении оси

ZN-1.

Шаг 4. Построение начала i-й системы координат.

78

Выбрать начало i-й системы координат в точке пересечения осей Zi-1 и Zi или в точке пересечения оси Zi и общей нормали к осям Zi-1 и Zi (если оси Zi-1 и Zi не пересекаются).

Шаг 5. Построение оси Xi.

Направить ось Xi вдоль общей нормали к осям Zi-1 и Zi (вдоль вектора (zi 1 , zi ) ,где zi-1 и zi – орты соответствующей системы координат).

Шаг 6. Построение оси Yi.

Направить ось Yi так, чтобы полученная в результате система координат Oi X iYi Zi была правосторонней.

Шаг 7. Нахождение параметров.

Для всех i = 1, 2, ..., N выполнить шаги 8-11.

Шаг 8. Нахождение di.

Параметр di равен расстоянию от начала (i-1) -й системы координат до точки пересечения осей Zi-1 и Xi, измеренному в направлении оси Zi-1. Если i-e сочленение телескопическое, то di является обобщенной координатой.

Шаг 9. Нахождение аi.

Параметр аi равен расстоянию от точки пересечения осей Zi-1 и Xi до начала i-и системы координат, измеренному в направлении оси Xi.

Шаг 10. Нахождение qi.

Параметр qi равен углу поворота оси Хi-1 вокруг оси Zi- 1 до ее совпадения с осью Xi. Если i-е сочленение вращательное, то qi является обобщенной координатой.

Шаг 11. Нахождение i .

Параметр i равен углу поворота оси Zi-1 вокруг оси Xi до ее совпадения с осью Zi.

Шаг 12. Конец.

79

Рис. 6

4.ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ.

-Используя схему двигателя второго привода поворота с блоком вычисления момента внешней нагрузки (Считать момент инерции двигателя и нагрузки постоянной величиной) добавить блок нелинейности вида ―зона нечувствительности‖ (смю рис. 7).

-Провести исследование показателей качества : быстродействие, перерегулирование в %, максимальная динамическая ошибка.

Параметры блока Dead Zone (зона нечувствительности): Start of dead zone - Начало зоны нечувствительности (нижний порог). End of dead zone - Конец зоны нечувствительности (верхний порог). Saturate on integer overflow (флажок) - Подавлять переполнение целого. При установленном флажке ограничение сигналов целого типа выполняется корректно. Treat as gain when linearizing (флажок) - Трактовать как усилитель с коэффициентом передачи равным 1 при линеаризации.

Принять начало зоны нечувствительности равной концу зоны нечувствительности и ширине зоны нечувствительности. Варианты:

- Построить систему координат методом ДенавитаХартенберга для автоматического артикулятора;

5. СОДЕРЖАНИЕ И ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЕ ОТЧЕТА

-Цель работы.

-Формулы.

-Данные опытов.

-Структурные схемы.

-Выводы.

Рис.7 Структурная схема двигателя постоянного тока

6. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

-Напишите передаточную функцию интегратора.

-Написать уравнение апериодического звена первого по-

рядка.

-Какую характеристику имеет звено с «зоной нечувствительности»

-Приведите пример механической модели зоны нечувст-

вительности. 83