Материал: Справочник магнитного диска. Катрахова А.А., Купцов В.С

- называется формулой Пуассона.

Задача теплопроводности в бесконечном цилиндре

Пусть в бесконечном цилиндре задано начальное распределение температур, граничные точки цилиндра поддерживаются при нулевой температуре. Требуется найти температуру в любой точке цилиндра в любой момент времени . Мы рассмотрим частный случай этой задачи, когда начальное распределение температур не зависит от переменной z и не зависит от полярного угла . Это значит, что и решение этой задачи не зависит от z и . Требуется найти решение дифференциального уравнения

удовлетворяющее начальному условию

и граничным условиям

Сначала найдем ненулевые решения нашего уравнения, удовлетворяющие только граничным условиям. Эти решения будем искать в виде где Дифференцируя функцию по t и по r дважды и подставляя результаты дифференцирования в наше уравнение, получим или

Отсюда следует, что

Как известно уравнение имеет ненулевые решения, удовлетворяющие граничным условиям только при где - положительные корни уравнения и этими решениями являются функции При уравнение принимает вид

Общим решением этого уравнения являются функции

где -произвольные постоянные.

Таким образом, ненулевыми решениями нашего уравнения, удовлетворяющими граничным условиям, являются функции

где Решение задачи будем искать в виде ряда коэффициенты, которого подбираются так, чтобы выполнялось начальное условие. При t=0, имеем Отсюда следует, что или

Решение задачи теплопроводности

в однородном шар

Пусть в шаре распределение температур, и пусть в точках сферы

поддерживается нулевая температура. Мы рассмотрим частный случай этой задачи, когда начальная температура зависит лишь от расстояния точки от центра шара и не зависит от угловых координат этой точки. Поэтому и при t>0 температура в точках шара зависит лишь от расстояния этой точки от центра шара. По этой причине задачу целесообразно решать в сферической системе координат . Как известно, оператор Лапласа в сферической системе координат имеет вид

Следовательно, рассматриваемая задача заключается в следующем. Найти функцию

Начальному условию

и граничным условиям

Условие

вспомогательную функцию

Требуется найти функцию

Решение этой задачи имеет вид

Таким образом, решение задачи теплопроводности в однородном шаре имеет вид:

1.3. Уравнения эллиптического типа

Установившаяся температура в однородном твердом теле. В предыдущем параграфе было установлено, что уравнение распространения тепла в изотропном однородном телев случае отсутствия источников тепла имеет вид

Допустим теперь, что температура в каждой точке (х, у, z) внутри тела установилась, т. е. что она не меняется с течением времени. Тогда и наше уравнение примет вид

Таким образом, уравнению Лапласа удовлетворяет темпера- тура и (х, у, z), установившаяся в однородном теле. Для определения и(х, y, z) теперь не надо уже задавать начальное распределение температуры (начальное условие), а достаточно задать одно граничное условие, не зависящее от времени. Задача решения уравнения Лапласа по его значениям на границе рассматриваемой области называется задачей Дирихле. Задача определения решения уравнения Лапласа, удовлетворяющего граничному условию , называется задачей Неймана. Потенциальное движение несжимаемой жидкости. Рассмотрим установившееся движение несжимаемой жидкости. Пусть движение жидкости невихревое или, иначе говоря, потенциальное, т. е. скорость v (х, у, z) есть потенциальный вектор v=grad . Для несжимаемой жидкости плотность ρ постоянна, и из уравнения неразрывности имеем div =0. Далее получим

или

т.е. потенциал скорости удовлетворяет уравнению Лапласа.

Решение задачи Дирихле в шаре для уравнения Лапласа

Пусть требуется найти функцию u(x,y,z), гармоничную в шаре и принимающую заданные значения В сферической системе координат задача заключается в следующем. Найти функцию удовлетворяющую при

и граничному условию

Метод Фурье решения этой задачи заключается в следующем: сначала ищутся частные решения основного уравнения в виде где функция ограничена в точке , функция ограничена по переменной и перидична по переменной с периодом . Функции являются собственными функциями отвечающими собственным значениям этими функциями являются сферические функциями.

Функции являются решениями уравнения (при

ограниченными в точке . Частные решения этого уравнения будем искать в виде Для определения k получаем которое имеет решения Следовательно, это уравнение имеет два линейно независимых решения . Второе решение не ограничено при , но ограничено при , поэтому оно используется для решения внешней задачи Дирихле для шара. Для решения внутренней задачи Дирихле для шара. Для решения внутренней задачи

Дирихле выбираем Таким образом, мы получили бесконечное число частных решений уравнения

где n=0,1,2,.. Решение задачи будем искать в виде ряда

Коэффициенты этого ряда определяются так, чтобы выполнялось граничное условие. Полагая в решении

Отсюда следует, что

Рассмотрим отдельно случай, когда решение задачи Дирихле для шара не зависит от переменной , то есть решение обладает осевой симметрией.