Материал: Строительная механика и конструкции. Сафронов В.С., Ефимов М

анизотропии, в которых устанавливаются модули сдвига во взаимно ортогональных главных плоскостях анизотропии Gij .

Из экспериментов на одноосное растяжение и одноосное сжатие вдоль главной оси анизотропии х1

Из экспериментов на чистый сдвиг в соответствующих главных плоскостях получим:

где i, j, k 1,2,3 .

При определении констант потенциала необходимо проводить проверку энергетической непротиворечивости в соответствии с требованиями постулата Дуккера [9]:

10

Выводы

Предложенные уравнения связи деформаций и напряжений с учетом получаемых из экспериментов констант для ортотропных композитов [4 – 8, 12 – 15] удовлетворяют ограничениям (14) и обобщают большинство известных моделей деформирования ортотропных материалов.

Библиографический список

1.Трещев А.А. Потенциальная зависимость между деформациями и напряжениями для ортотропных физически нелинейных материалов / А.А.Трещев // Фундаментальные и прикладные проблемы техники и технологии. – Орел: ОГУ. –

2017. – № 4-1 (324). – С. 71 – 74.

2.Трещев А.А. Удельная дополнительная работа деформирования ортотропных физически нелинейных материалов / А.А.Трещев, Ю.А. Монастырев, В.Д. Чибрикина // Социальноэкономические и экологические проблемы горной промышленности, строительства и энергетики: 13-я Международная конференция по проблемам горной промышленности, строительства и энергетики. – Тула: ТулГУ, 2017. – Т. 2. - С. 208 – 212.

11

3.Трещев А.А. Нелинейные определяющие соотношения для ортотропных разносопротивляющихся материалов / А.А.Трещев // Сборник материалов XVIII Международной научно-технической конференции «Актуальные проблемы строительства, строительной индустрии и промышленности». – Тула: ТулГУ. – 2017.

–С. 180 – 184.

4.Schmueser D.W. Nonlinear Stress-Strain and Strength Response of Axisymmetric Bimodulus Composite Material Shells / D.W.Schmueser // AIAA Journal. – 1983. – Vol. 21.

–№12. – P. 1742 – 1747.

5.Reddy L.N. On the Behavior of Plates Laminated of Bimodulus Composite Materials / L.N.Reddy, C.W.Bert // ZAMM. – 1982. – Vol. 62. – № 6. – P. 213 – 219.

6.Jones R.M. A Nonsymmetric Compliance Matrix Approach to Nonlinear Multimodulus Ortotropic Materials / R.M.Jones // AIAA Journal. – 1977. – Vol. 15. – № 10. – P. 1436 – 1443.

7.Jones R.M. Modeling Nonlinear Deformation of Carbon-Carbon Composite Material / R.M.Jones // AIAA Journal. – 1980. – Vol. 18. - № 8. – Р. 995 – 1001.

8.Jones R.M. Bucling of Stiffened Multilayered Circular Shells with Different Ortotropic Moduli in Tension and Compression / R.M.Jones // AIAA Journal. – 1971. – Vol. 9. – № 5.

–P. 917 – 923.

9.Трещев А.А. Теория деформирования и прочности материалов с изначальной или наведенной чувствительностью к виду напряженного состояния. Определяющие соотношения / А.А. Трещев // Москва – Тула: РААСН – ТулГУ, 2016. – 328 с.

10.Трещев А.А. Анизотропные пластины и оболочки из разносопротивляющихся материалов / А.А. Трещев // Москва – Тула: РААСН – ТулГУ, 2007. – 160 с.

11.Трещев А.А. Определяющие соотношения для нелинейных анизотропных материалов, чувствительных к виду напряженного состояния / А.А.Трещев, Д.А. Ромашин // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. – Н. Новгород: Изд-во ННГУ им. Н.И. Лобачевского, 2011. – №4. Часть 4. – С. 1740-1742.

12.Розе А.В. Трехармированные тканые материалы / А.В. Розе, И.Г. Жигун, М.Н. Душин // Механика полимеров. – 1970. – №3. – с. 471–476.

13.Jones R.M., Theoretical-experimental correlation of material models for non-linear deformation of graphite / R.M.Jones, D.A.R.Nelson // AIAA Journal. – 1976. – Vol. 14 – №10. – P. 1427–1435.

14.Jones R.M. Stress-Strain Relations for Materials with Different Moduli in Tension and Compression / R.M.Jones // AIAA Journal. – 1977. – Vol. 15. – №1. – P. 16–25.

References

1.Treschev A.A. Potential dependence between deformations and stresses for an orthotropic physically nonlinear materials. Fundamental and applied problems of technics and technology. Oryol: OSU. - 2017. - No 4-1 (324). – P. 71 – 74.

2.Treschev A.A., Monastyrev., J.A., Chibrikina V.D. Specific additional work of deformation of physically nonlinear orthotropic materials. Socio-economic and environmental problems of mining, construction and power engineering: 13th international conference on problems of mining industry, construction and energy. - Tula: TulGU, 2017. Vol. 2. P. 208 – 212.

3.Treschev A.A. Nonlinear constitutive relationships for orthotropic differently resistant materials. Collection of papers of XVIII International scientific and technical conference "Actual problems of building, construction and industry". Tula: TulGU. 2017. P. 180 – 184.

4.Schmueser D.W. Nonlinear Stress-Strain and Strength Response of Axisymmetric Bimodulus Composite Material Shells. Journal. 1983.Vol. 21. No12. P. 1742 – 1747.

12

5.Reddy L.N., Bert C.W. On the Behavior of Plates Laminated of Bimodulus Composite Materials. ZAMM. 1982. Vol. 62. No 6. P. 213 – 219.

6.Jones R.M. Nonsymmetrical Compliance Matrix Approach to Nonlinear Multimodulus Ortotropic Materials. AIAA Journal. 1977. Vol. 15. No10. P. 1436 – 1443.

7.Jones R.M. Modeling Nonlinear Deformation of Carbon-Carbon Composite Material. AIAA Journal. 1980. Vol. 18. No 8. Р. 995 – 1001.

8.Jones R.M. Bucling of Stiffened Multilayered Circular Shells with Different Ortotropic Moduli in Tension and Compression. AIAA Journal. 1971. Vol. 9. – No 5. P. 917 – 923.

9.Treschev A.A. Theory of deformation and strength of materials with initial or induced sensitivity to the form of the stress state. Constitutive relations. Moscow – Tula: RAABN TulGU, 2016. - 328 p.

10.Treschev A.A. Anisotropic plates and shells from differently resistant materials. Moscow – Tula: RAABN. TulGU, 2007. -160 p.

11.Treshchev A.A., Romashin D.A. Constitutive equations for nonlinear anisotropic materials sensitive to stress state type . Bulletin of Nizhegorod university by N. Lobachevsky. N. Novgorod: Publishing house NNGU by N.A.Lobachevsky, 2011. No 4. Part 4. P. 1740-1742.

12.Rose A.V., Zhigun I. G.,.Dushin M.N. Three-reinforced woven materials. Mechanics of polymers. - 1970. No3. - p. 471-476.

13.R.M. Jones, D.A.R Nelson. Theoretical-experimental correlation of material models for non-linear deformation of graphite. AIAA Journal. 1976. Vol. 14 No10. P. 1427–1435.

14.R.M. Jones Stress-Strain Relations for Materials with Different Moduli in Tension and Compression. AIAA Journal. 1977. Vol. 15. No1. P. 16–25.

DESCRIPTION OF ORTHOTROPIC DIFFERENTLY RESISTANT MATERIALS

DEFORMATION

A. A. Treschev, Yu. A. Monastyrev, V. D. Chibrikina, Yu. A. Zavyalova, M. A. Lapshina

Tula State University1, 2, 3, 4, 5

Russia,Tula

1Corresponding member of RAASN, Dr of T ech.Sc. Head of department “ Construction, building materials and structures”

2Master of department “Construction, building materials and structures”

3Master of department “Construction, building materials and structures”

4Master of department “Cconstruction, building materials and structures

5Master of department “Construction, building materials and structures

tel. +7(4872)257108; e-mail: taa58@yandex.ru

There is presented potential equations of coupling of strain and stress tensors for orthotropic composite materials with imperfect elasticity allowing quasilinear representation of deformation curves. System of experiments necessary for strain characteristics determining is observed. There are given numerical values of these characteristics for some orthotropic materials. Positive definition of quadratic forms corresponding to Drucker’s postulate are shown.

Keywords: strain potential, different resistance, quasilinear equations, orthotropic materials, main axes of anisotropy

13

УДК 624.31, 534.111

АНАЛИТИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ ЧАСТОТ МАЛЫХ КОЛЕБАНИЙ БАЛОЧНОЙ ФЕРМЫ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ЧИСЛОМ ПАНЕЛЕЙ

М. Н. Кирсанов1, Д. В. Тиньков2

Национальный исследовательский университет “МЭИ”1, 2 Россия, г. Москва

1Д-р физ.-мат. наук, тел.: +7(495)362-73-14; e-mail:c216@ya.ru 2Аспирант, тел. +7(495)362-73-14; e-mail:dvtinkov@yandex.ru

Рассмотрена упрощенная модель фермы с массами, сосредоточенными в узлах нижнего пояса фермы. Учтены только вертикальные смещения грузов. Уравнения движения записываются в матричном виде. Жесткость в узлах рассчитывается с помощью формулы Максвелла – Мора. Усилия в стержнях определяются в символьной форме в системе компьютерной математики Maple. Показано, что для симметричной фермы матрицы решения имеют бисимметричный вид, что позволяет получить характеристическое уравнение, допускающее точные решения для всех частот, независимо от числа степеней свободы. Обобщение частных решений на произвольное число панелей производится методом индукции. Найдено, что одна из частот колебаний не зависит от числа панелей и является средней в спектре частот.

Ключевые слова: ферма, частота колебаний, бисимметричная матрица, индукция, аналитическое ре-

шение, Maple

Задача о частотах собственных колебаний ферм, как правило, решается численно [1- 6]. Наиболее распространенной, работоспособной и достаточно точной моделью задачи является задача о колебании сосредоточенных масс в узлах фермы [7,8]. В такой постановке возможно получить и аналитическое решение. Однако в большинстве случаев оно ограничено лишь аналитическим представлением коэффициентов частотного уравнения, что, конечно, заметно повышает точность результатов, особенно при анализе ферм с большим числом панелей, но сами же частоты получаются уже из численного решения алгебраического уравнения высокого порядка. Желание получить формулы для частот колебаний фермы ограничено невозможностью получить точное решение частотного уравнения. Но здесь есть исключения. Одно такое исключение, дающее точные формулы для частот собственных колебаний, представлено в настоящей работе.

Рассмотрим статически определимую плоскую ферму с нисходящими раскосами и параллельными поясами (рис. 1).

Рис. 1. Ферма с тремя панелями в половине пролета

Аналитический расчет прогиба и смещения опоры такой фермы под действием различных нагрузок в системе компьютерной математики Maple произведен в работах [9-11]. За основу в этих работах взята формула Максвелла-Мора и метод вырезания узлов для нахождения усилий в стержнях. Обобщение отдельных частных решений, полученных для

_________________________________

© Кирсанов М. Н., Тиньков Д. В., 2019

14