Материал: Строительная механика и конструкции. Сафронов В.С., Ефимов М
Tambov, 2015. Pp. 58 - 60.
11.Vanin M.V., Kaganovich A.F. On the rigidity of a simple girder truss with an arbitrary number of panels. Bulletin of Scientific Conferences. 2016. № 3-6 (7). Science and education in the life of modern society: according to the materials of the international scien- tific-practical conference March 31, 2016 Part 6. Pp. 18-19.
12.Osadchenko N.V. Analytical solutions of problems of deflection of flat trusses of arch type. Stroitelnaya mekhanika i konstruktsii. 2018. T.1. №16. Pp. 12–33.
13.Kirsanov M. N. Flat trusses. Schemes and calculation formulas: reference book. M.: INFRA-M, 2019. 238 p.
14.Vorobiev O., Kirsanov M., Cherepanov S. About some bissymmetric matrix of regular type Science and education in the XXI century. Collection of papers on the materials of the International Scientific and Practical Conference. September 30, 2013. Part 23. Tambov, 2013. Publishing house of the Business-Science-Society TRU, Pp. 8-9.
ANALYTICAL EXPRESSIONS OF THE FREQUENCIES OF SMALL OSCILLATIONS
OF A GIRDER WITH AN ARBITRARY NUMBER OF PANELS
M. N. Kirsanov1, D. V. Tinkov2
National Research University “MPEI”1,2
Russia, Moscow
1Dr.Sci., Professor tel: +7(916)592-49-52; e-mail:c216@ya.ru
2Graduate student tel:+7(495)362-73-14; e-mail:dvtinkov@yandex.ru
A simplified model of a truss with masses concentrated in the nodes of the lower zone of the truss is considered. Only vertical displacements of loads are taken into account. The equations of motion are written in matrix form. The stiffness at the nodes is calculated using the Maxwell – Mohr formula. The forces in the rods are defined in symbolic form in the Maple computer mathematics system. It is shown that for the symmetric form of the matrix, the solutions have a symmetric form, which allows us to obtain a characteristic equation that allows accurate solutions for all frequencies, regardless of the number of degrees of freedom. A generalization of the particular solutions by an arbitrary number of panels produced by the method of induction. It is found that one of the oscillation frequencies does not depend on the number of panels and is the average in the frequency spectrum.
Keywords: truss, oscillation frequency, bisymmetric matrix, induction, analytical solution, Maple.
20
УДК 624.072.33.041.1
ФОРМУЛЫ ДЛЯ ПРОГИБА БАЛОЧНОЙ ФЕРМЫ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ЧИСЛОМ ПАНЕЛЕЙ ПРИ РАВНОМЕРНОМ ЗАГРУЖЕНИИ
Н. А.Белянкин1, А. Ю.Бойко2
Национальный исследовательский университет “МЭИ” Россия, г. Москва
1Студент;e-mail: belankin2@gmail.com
2Студент; e-mail: boykoanyu@mail.ru
Симметричная статически определимая ферма с треугольной решеткой, прямолинейным верхним поясом и приподнятым в середине пролета нижним поясом равномерно загружается по узлам. Методом индукции выводятся аналитические зависимости прогиба середины пролета от числа панелей. Уравнения равновесия узлов для определения усилий в стержнях решаются в символьной форме в системе компьютерной математики Maple. Используется формула Максвелла - Мора и аппарат составления и решения рекуррентных уравнений для получения общего решения.
Ключевые слова: ферма, прогиб, формула Максвелла-Мора, Maple
Введение
Альтернативой общепринятому численному методу расчета ферм является метод аналитический. Актуальность аналитических формул для расчета строительных конструкций определяется с одной стороны их простотой, а с другой — числом независимых параметров конкретной задачи. Формулы для расчета конструкции с фиксированным числом узлов, в которые входят только размеры, величина нагрузки определенного вида и характеристики свойств материала, получаются в известных системах компьютерной математики (Maple, Maxima, Mathematica, Derive, Reduce) достаточно просто, но особой ценности они не имеют.
Существенно расширяет область применения расчетных формул для регулярных ферм, обладающих некоторой периодичностью структуры, такой параметр (или параметры) как число ячеек периодичности, или в частности, число панелей.
В работах [1-12] в системе Maple с использованием метода индукции найдены аналитические решения для арочных ферм. Решения задач о прогибе решетчатых ферм получены в работах [13-21]. Метод индукции применен при анализе пространственных конструкций [2229] и для внешне неопределимых ферм [30,31]. Известны также формулы для частот и коэффициентов частотных уравнений задачи о колебании груза на ферме с произвольным числом панелей [32-34], полученные методом индукции в системе Maple.
Расчет
Рассмотрим ферму, высота которой в средней части пролета h, а по краям 2h (рис. 1). Ферма с 2n панелями (считаются по верхнему поясу) содержит m = 8n+6 стержней.
______________________________
© Белянкин Н. А., Бойко А. Ю., 2019
21
Рис. 1. Ферма при n 5
Решение задачи о выводе аналитической зависимости прогиба от числа панелей начинается с определения усилий в стержнях. В [35] разработана Maple-программа, основанная на методе вырезания узлов и составления матрицы уравнений равновесия всех узлов, дающая решение задачи об усилиях в символьной форме. В программу вводятся координаты узлов, порядок соединения стержней и узлов (рис. 2).
Рис. 2. Нумерация узлов и стержней фермы, n=2
Смещение вычисляется по формуле Максвелла – Мора
Si sili / (EF ),
i 1m 3
где si — усилия в стержнях фермы от действия единичной нагрузки, приложенной к узлу с номером 3n-3 в середине верхнего пояса, Si — усилия от внешней нагрузки, распределенной по узлам верхнего (рис. 1) или нижнего (рис. 3) пояса, li — длины стержней, EF — жест-
кость стержней, принятая одинаковой для всех стержней конструкции. Три опорные стержня, усилия которых также входят в систему уравнений равновесия узлов, приняты недеформируемыми, поэтому суммирование ведется до m-3.
Рис. 3. Ферма при n 6 . Нагружен нижний пояс
22
На основе анализ решения задачи о прогибе ферм с различным числом панелей получено следующее выражение для прогиба
EF P(A a3 |
C c3 |
H |
h3 ) / h2 , |
(1) |
n |
n |
n |
|
|
где c 
h2 a2 .
Рассчитаем коэффициенты в (1) от нагрузки по нижнему поясу при нагрузке от 2-го узла, до узла с номером 2n 1 (рис.2, рис. 3). Методом индукции получено
A (10n4 14n2 |
24) / 3 , |
|
n |
|
|
С n2 |
12n 6 , |
(2) |
n |
|
|
Hn 2n 2.
Для получения этих зависимостей из решений для ферм с числом панелей от 1 до 14 были выявлены последовательности коэффициентов перед кубами линейных размеров a, с и h:
Для размера а: 564, 304, 920, 2192, 4480, 8224, 13944, 22240, 33792, 49360, 69784, 95984, 128960, 169792;
Для размера с: 22, 39, 58, 79, 102, 127, 154, 183, 214, 247, 282, 319, 358, 399;
Для размера h: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28.
Для последовательностей меньшей длины закономерность найти не удается. Оператор rgf_findrecur из пакета genfunc системы Maple по этим данным дал однородное линейное рекуррентное уравнение пятого порядка, которому удовлетворяют члены последовательно-
стей: |
|
|
An 5An 1 10An 2 10An 3 5An 4 An 5 . |
(3) |
|
Аналогично, получены уравнения меньшего порядка и для коэффициентов Сn |
и Hn : |
|
Cn 3Cn 1 3Cn 2 Cn 3 , |
(4) |
|
Hn 2Hn 1 Hn 2 . |
||
|
||
Решения (2) этих уравнений получены при помощи оператора rsolve с соответству- |
||
ющими начальными данными. Приведем соответствующий фрагмент программы на языке
Maple
> Nmax:=15: n:='n':with(genfunc):
> S:=seq(C3[i],i=2.. Nmax);
NN:=nops([S])/2; Z:=rgf_findrecur(NN, [S], t,n);
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28 7
t( n ) 2 t( n 1 ) t( n 2 )
> ZZ:=simplify(rsolve({Z,seq(t(i+1)=S[i],i=1..NN)},t)); collect(ZZ,n);
2 n 2
23
2. Рассчитаем коэффициенты в решении (1) от нагрузки по верхнему поясу (рис.1).
Методом индукции при нагрузке в узлах фермы с порядковыми номерами от 2n 3 до 4n+3 получены следующие формулы:
An 10n4 n2 / 3,
Сn n2 12n 7, Hn 2n 3.
Для этого из решений для ферм с числом панелей от 1 до 14 были выявлены последовательности коэффициентов перед кубами линейных размеров a, с и h:
Для размера а: 52, 267, 848, 2075, 4308, 7987, 13632, 21843, 33300, 48763, 69072, 95147, 127988, 168675;
Для размера с: 21, 38, 57, 78, 101, 126, 153, 182, 213, 246, 281, 318, 357, 398;
Для размера h: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27.
Оператор rgf_findrecur из пакета genfunc системы Maple по этим данным дал те же рекуррентные уравнения (3), (4), которым удовлетворяют члены последовательностей.
Отметим, что в данном случае общая формула (1) расчета прогиба также не изменилась.
График |
зависимости прогиба фермы от числа панелей в данном случае при |
|
a L / (4n) , |
' EF / (P L) , |
P P(2n 1) представлен на рис. 4. |
|
0 |
0 |
Рис. 4. Нагрузка по верхнему поясу. Зависимость прогиба от числа панелей, L=100 м
24