Материал: Вариационные методы
Вариационная производная
Если при этом отношение (4.7) существует и стремиться к некоторому пределу, то этот предел называется вариационной
производной функционала J(y) в точке x0.
Вариационная производная
Можно показать, что вариационная производная интегрального функционала с фиксированными граничными условиями совпадает с уравнением Эйлера-Пуассона:
δJ δy
|
dF |
d2F |
d3F |
||
= F − |
y' |
+ |
y'' |
− |
y′′′ |
|
|
|
|||
y |
dx |
dx2 |
dx3 |
||
( )n |
dn |
|
∂F |
|
(4.8) |
||
|
|
|
|
|
|||
+...+ −1 |
|
|
|
|
|
||
|
dx |
n |
∂y |
(n) |
|
||
|
|
|
|
|
|
||
Следовательно, уравнение Эйлера-Пуассона означает не что иное, как равенство нулю в каждой точке вариационной производной соответствующего функционала, точно так же, как в математическом анализе необходимым условием экстремума функции нескольких переменных является равенство нулю всех ее частных производных.
Самарский государственный аэрокосмический университет
Лекция 5. Изопериметрические задачи. Задача Дидоны.
Задача на условный экстремум
О. Л. Старинова
Кафедра Космического машиностроения |
2015 г. |
Изопериметрическая задача
Задача отыскания среди всех кривых y(x), удовлетворяющих условиям
y(x1)= y1; |
(5.1) |
y(x2 )= y2; |
|
кривой доставляющей экстремум функционалу (целевой функционал)
x2 |
|
J(y) = ∫F(x, y, y′)dx → extr |
(5.2) |
x1 |
|
при выполнении условия (условие связи) |
|
x2 |
|
′ |
(5.3) |
K(y) = ∫G(x, y(x), y (x))dx = l |
|
x1 |
|
называется изопериметрической задачей.
Первоначально под изопериметрической задачей понималась частная задача (задача Дидоны): среди всех замкнутых кривых, имеющих заданную длину, найти ту, которая охватывает наибольшую площадь (задача с фиксированным периметром).
Теорема о необходимом условии экстремума для изопериметрической задачи
Th 1. Если кривая y(x) дает экстремум функционалу (5.2), удовлетворяет условиям (5.1) и (5.3) и не является экстремалью функционала (5.3), то существует такая постоянная λ, что эта кривая является экстремалью функционала
x2 |
(F + λG)dx → extr |
|
∫ |
(5.4) |
|
x1 |
|
|
Доказательство
Пусть кривая y(x) удовлетворяет всем условиям теоремы. Возьмем в интервале x [x1, x2] две произвольные точки a и b и придадим y(x) приращение δy=δay+ δby , отличное от нуля лишь в окрестностях этих точек. Соответствующее приращение ∆J функционала можно представить в виде
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂F |
|
|
|
|
|
|
||
|
∂F |
|
d |
|
∂F |
|
|
|
|
∂F |
|
d |
|
|
|
|
|
|
|||||
∆J = |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
σa |
+ |
|
|
− |
|
|
|
|
|
+ε |
|
σb |
(5.5) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
∂y |
|
|
|
|
|
+ε1 |
|
∂y |
|
|
|
|
|
2 |
||||||||
|
|
|
dx |
∂y′ |
|
x=a |
|
|
|
|
|
dx |
∂y′ |
|
x=b |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||