Материал: Вариационные методы
Первая вариация интегрального функционала
x2
δJ(y0 )= ∫(F(x, y0 + δy, y'0 +δy')− F(x, y0, y'0 ))dx =
x1
= |
x2 |
|
|
, y' |
|
)+ ∂F |
∫ |
F(x, y |
0 |
||||
|
|
0 |
|
∂y |
||
|
x |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
= x∫2 (Fyδy + Fy'δy')dx =
x1
x
= ∫2 Fyδydx + (Fy'δy)x2
x1
x1
|
∂F |
|
′ |
|
( |
|
|
|
δy + |
δy |
− F |
x, y0 |
, y'0 |
) |
|||
∂y′ |
|
|
dx = |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
u = F |
′ , |
du = |
dFy′ |
dx |
|
||
dx |
= |
||||||
|
y |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
dv = δy'dx, v = δy |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
−x∫2 dFy' δydx = x1 dx
|
( |
) |
|
x |
|
x2 |
|
|
dF |
|
|
|
|
2 |
+ ∫ |
|
|
||||||
= |
|
|
|
|
− |
y' |
|
(2.6) |
|||
|
|
|
|
||||||||
Fy'δy |
|
|
x |
|
Fy |
|
δydx |
||||
|
|
|
|
1 |
x |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
Простейшая задача вариационного исчисления
- задача с фиксированными граничными значениями
Если для функционала (2.4) заданы фиксированные граничные условия:
y(x1 )= y1, |
|
y(x2 )= y2 |
, |
|
(2.7) |
то задача (2.4), (2.7) называется простейшей задачей вариационного исчисления.
Простейшая задача вариационного исчисления.
Дифференциальное уравнение Эйлера
Согласно необходимому условию экстремума, формуле для первой вариации функционала (2.4) и граничным условиям (2.7) , экстремум функционала достигается при выполнении следующих условий:
δy(x1)= δy(x2 )= 0 |
(2.8) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F − |
dFy' |
= 0 |
|
(2.9) |
|
||||
y |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
Это уравнение называется дифференциальным уравнением Эйлера.
Экстремалью называется интегральная кривая дифференциального уравнения Эйлера. Все экстремали в одной задаче образуют поле экстремалей.
Пример 2.1 Решение дифференциального уравнения Эйлера.
Найти экстремаль функционала
J(y)= ∫1 (x2 + y2 + y'2 )dx; y(−1)=1; |
|
−1 |
y(1)=2. |
Запишем уравнение Эйлера для этого функционала.
Fy = |
∂F |
|
|
= |
∂F |
′ |
dFy' |
|
|
|
= 2y, |
Fy′ |
|
= 2y , |
|
= 2y′′ |
|||
∂y |
∂y′ |
|
|||||||
dx |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
2y − 2y′′ = 0 |
|
|
y''−y = 0 |
|
||||
Это обыкновенное ДУ второго порядка. Соответствующее характеристическое уравнение и его корни:
k2 −1= 0 |
k = ±1 |
|
1,2 |
Пример 2.1 Решение дифференциального уравнения Эйлера. Продолжение.
Соответствующее общее решение y(x)= C1ex +C2e−x
определяет поле экстремалей, показанное на рисунке.