Материал: Введение в схемотехнику электрических цепей. Литвиненко В.П., Литвиненко Ю.В
Средняя мощность PСР , потребляемая цепью от источ-
ника, равна
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
t0 T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
PСР |
|
t0 p(t)dt . |
|
|
|
(3.15) |
||||
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|||||||
Для гармонических сигналов получим |
|
|
|
|
|||||||||||
P |
ImUm |
cos( |
u |
|
i |
) |
ImUm |
cos( ) I |
Д |
U |
Д |
cos( ), (3.16) |
|||
|
|
||||||||||||||
СР |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
u i |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.17) |
||||||
- сдвиг фаз между напряжением и током.
Величину cos( ) в (3.16) рассматривают как коэффи-
циент мощности.
В реактивной цепи, состоящей только из индуктивностей и емкостей, 900 то есть cos( ) 0 и PСР 0 - идеальная
реактивная цепь не потребляет мощности. В реальной цепи (в катушке индуктивности, конденсаторе и т. д.) всегда имеются потери мощности.
Мощность потребляется только резистивными элементами, поэтому если в двухполюснике на рис. 3.5 присутствуют
только сопротивления, то 0 , cos( ) 1 и потребляемая активным двухполюсником мощность равна
|
I U |
|
|
|
U Д2 |
|
||
|
m |
m |
|
2 |
|
|
, |
(3.18) |
PСР |
|
2 |
I |
ДU Д IД RОБЩ |
|
RОБЩ |
|
|
где RОБЩ - общее сопротивление активного двухполюсника. |
||||||||
Для любого двухполюсника |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
PСР Pk , |
|
|
|
(3.19) |
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
Pk - мощность, потребляемая k-м сопротивлением. Выражение
(3.19) называют условием баланса мощности.
На рис. 3.6а показан пример резистивной цепи из трех сопротивлений, для которой
PСР IД1UД P1 P2 P3 IД1UД1 IД2UД2 IД3UД2
(фазы всех токов и напряжений одинаковы).
25
В цепи на рис. 3.6б сопротивление R2 заменено на емкость C , которая не потребляет мощности от гармонического источника e(t) , тогда условие баланса мощности примет вид
PСР IД1UД cos( ) P1 P3 IД1UД1 IД3UД2 ,
- сдвиг фаз междуобщим напряжением и током.
Рис. 3.6
Простые методы расчета токов и напряжений будут рассмотрены далее.
3.5. Задания для самостоятельного решения
Задание 3.1. На рис. 3.7а изображен гармонический сигнал и задана масштабная сетка по горизонтали 0,2 мкс/деление и по вертикали 0,5 В/деление. Найдите период и частоту повторения (в герцах и радианах в секунду), а также начальную фазу (в радианах и градусах). Запишите функцию времени, описывающую этот сигнал.
Задание 3.2. На рис. 3.7б представленные на экране осциллографа гармонические сигналы.
Вычислите сдвиг фаз первого колебания относительно второго (опорного) при указанных в задании 3.1 значениях цены деления сетки по вертикали и горизонтали.
26
а |
б |
Рис. 3.7
Задание 3.3. Определите амплитуды, действующее значения и начальные фазы напряжений:
u(t) 5 cos(1000 t 1)В , i(t) 10 cos(20000 t /2)A, u(t) 4 sin(1000 t 100)В.
Задание 3.4. Вычислите сдвиги фаз гармонического сигнала s1(t) относительно s2 (t) :
1)s1(t) 5 cos(1000 t 300), s2(t) 10 cos(1000 t 300);
2)s1(t) 5 sin(1000 t 300), s2(t) 5 cos(1000 t 300);
3)s1(t) 10 cos(1000 t /2), s2(t) 10 cos(1000 t /2);
4)s1(t) 5 sin(1000 t 1) , s2 (t) 10 sin(1000 t 2).
27
4.РАСЧЕТ ГАРМОНИЧЕСКИХ ТОКОВ И НАПРЯЖЕНИЙ
4.1. Расчет сопротивлений и проводимостей
Гармонические токи и напряжения в линейной электрической цепи рассчитываются методом комплексных амплитуд, который рассматривается в дисциплине «Основы теории цепей».
В дальнейшем будем рассматривать простые цепи и упрощенные методы расчета на основе закона Ома.
Модель резистора представляется активным сопротивлением R или проводимостью G 1/R (табл. 4.1). Гармонические напряжение и ток в сопротивлении синфазны (имеют одинаковые начальные фазы).
Свойства реактивных элементов L и C описываются их реактивными сопротивлениями XL , XC или проводимостями
BL , BC соответственно, их значения приведены в табл. 4.1,
|
|
|
|
|
|
|
2 f |
|
|
|
(4.1) |
||||
- круговая частота, |
f - циклическая частота источника сигнала. |
||||||||||||||
|
|
Реактивные сопротивления измеряются в Омах (Ом), а |
|||||||||||||
проводимости – в Сименсах (См). |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 4.1 |
||
|
Эле- |
Сопро- |
|
Проводи- |
Модуль |
Модуль |
|
||||||||
|
|
рад |
|||||||||||||
|
мент |
тив- |
|
мость |
сопротив- |
проводимо- |
|||||||||
|
ление |
|
ления |
сти |
|
||||||||||
|
R |
R |
|
G 1/R |
R |
G 1/R |
0 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
X L L |
|
BL |
1 |
|
X L L |
BL |
1 |
|
/2 |
||||
|
L |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
||||
|
C |
XC |
1 |
|
|
BC C |
XC |
1 |
|
BC C |
/2 |
||||
|
C |
|
C |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
28
Сдвиги фаз u i между напряжением и током ука-
заны в последнем столбце табл. 4.1.
Для цепи на рис. 4.1а с последовательным соединением сопротивления R и емкости C модуль ее полного сопротивления равен
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||
Z1 |
R |
|
|
XC |
|
|
R |
|
|
|
. |
(4.2) |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
Сдвиг фаз u i между напряжением и током определяется выражением
|
|
1 |
|
|
|
1 |
arctg |
|
|
, |
(4.3) |
|
|||||
|
|
CR |
|
|
|
то есть ток опережает по фазе напряжение на угол от 0 до
900.
Рис. 4.1
В резистивно-емкостной цепи на рис. 4.1б с параллельным соединением тех же элементов модуль полной проводимости равен
|
|
1 2 |
|
|
2 |
|
1 2 |
2 |
|
1 CR2 |
|||
|
|
|
|
||||||||||
Y2 |
|
|
|
|
bC |
|
|
|
|
C |
|
|
, (4.4) |
|
|
|
|||||||||||
|
R |
|
|
|
R |
|
|
R |
|||||
а модуль полного сопротивления можно записать в виде
Z2 |
|
R |
XC |
|
|
|
|
|
|
R |
|
. |
(4.5) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
R2 |
|
XC |
|
2 |
1 CR 2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Как видно,
29