Материал: Выполнение типового расчета по теории вероятностей (120

Рис. 3. Физическая схема системы фильтров

Событие А состоит в безотказной работе всей системы за рассматриваемый промежуток времени (события Аi независимы в совокупности). Требуется: 1) изобразить структурную схему надежности системы; 2) выразить событие A через события Аi или

Аi ( i 1, ..., 5); 3) найти вероятность P(А) безотказной работы

системы.

Решение. Система будет функционировать, если не откажут первый и четвертый фильтры или же второй и хотя бы один из двух оставшихся. Следовательно, структурная схема надежности данной системы фильтров имеет вид, изображенный на рис. 4.

Рис. 4. Структурная схема надежности системы

Данная схема может быть представлена как параллельное соединение подсистем В1 и В2, где подсистема В1 состоит из последовательно соединенных блоков 1 и 4, а подсистема В2, в свою очередь, может быть представлена как последовательное соединение блока 2 и подсистемы В3. Подсистема В3 состоит из параллельно соединенных блоков 3 и 5.

6

Пусть события Bi — безотказная работа i-го блока. Тогда при параллельном соединении А B1 B2 , A B1 B2. Для последова-

тельного соединения B1 A1 A4 , B1 A1 A4. Далее B2 A2 B3, B2 A2 B3 и B3 A3 A5 , B3 A3 A5. Окончательно получаем

А A1 A4 A2 A3 A5 ; A A1 A4 A2 A3 A5 .

Для подсчета вероятности безотказной работы системы воспользуемся формулой сложения вероятностей и формулой умножения вероятностей для независимых событий:

P B3 P A3 A5 P A3 P A5 P A3 A5

P A3 P A5 P A3 P A3 0,9925;

P B2 P A2 B3 P A2 P B3 0,89325;

P B1 P A1 A3 P A1 P A3 0,9025;

P A P B1 B2 P B1 P B2 P B1 B2

P B1 P B2 P B1 B2 0,989.

Пример 4. Из урны, содержащей четыре белых и шесть черных шаров, последовательно наугад извлекают пять шаров. Найти вероятность того, что среди извлеченных шаров окажется ровно два белых шара при условии, что выборка производится: 1) с возвращением (извлеченный шар возвращается обратно в урну); 2) без возвращения (извлеченный шар в урну не возвращается).

Решение. Введем следующие события: событие Ai , i1, ..., 5 состоит в том, что i-й в порядке извлечения шар оказался белого цвета. Тогда интересующее нас событие может быть выражено через события Ai следующим образом:

A A1 A2 A3 A4 A5 A1 A2 A3 A4 A5 A1 A2 A3 A4 A5

... A1 A2 A3 A4 A5 A1 A2 A3 A4 A5 .

7

Заметим, что все слагаемые попарно несовместны. Следовательно, вероятность суммы этих событий равна сумме их вероятностей:

P A P A1 A2 A3 A4 A5 P A1 A2 A3 A4 A5 ...

P A1 A2 A3 A4 A5 P A1 A2 A3 A4 A5 .

Подсчет вероятностей для произведений событий зависит от способа извлечения шаров. Если выборка осуществляется с воз-

вращением, то события Ai , так же, как и Ai , будут независимыми

между собой (вероятность извлечь белый шар не зависит от того, какого цвета шары извлекались до этого, а зависит только от количества белых и черных шаров в урне). Для независимых событий вероятность произведения равна произведению вероятностей сомножителей. В этом случае

Все слагаемые одинаковы, а их число (число вариантов выбора двух из пяти) равно C52 2!5!3! 10. Таким образом,

P A 10 42653 0,3456. 10

В случае извлечения выборки без возвращения события Ai

являются зависимыми (вероятность извлечь белый шар зависит от того, какого цвета и сколько шаров извлекалось до этого). Поэтому при подсчете вероятности слагаемых будем использовать формулу умножения вероятностей для зависимых событий:

P B1B2 ...Bn P B1 P B2 B1 P B3 B1B2 ... P Bn B1B2 ...Bn 1 .

Получим

8

Так же, как и в первом случае, все слагаемые равны между собой, поэтому

Пример 5. Из десяти стрелков пять попадают в цель с вероятностью 0,4, три — с вероятностью 0,6 и два оставшихся — с вероятностью 0,8. Найти вероятность того, что случайно выбранный стрелок поразит цель. Известно, что случайно выбранный стрелок попал в цель. Найти вероятность того, что он принадлежит группе стрелков, поражающих цель с вероятностью 0,4.

Решение. Пусть событие А состоит в том, что случайно выбранный стрелок поразил цель. Введем следующие события: Н1 — что случайно выбранный стрелок поражает цель с вероятностью

тезами. Поэтому для нахождения вероятности события А можно воспользоваться формулой полной вероятности

P(A) P A Hi P Hi .

i

Априорные вероятности гипотез:

Таким образом,

P A 0,4 0,5 0,6 0,3 0,8 0,2 0,54.

Для подсчета апостериорной вероятности гипотезы H1 вос-

пользуемся формулой Байеса:

9