Материал: Выполнение типового расчета по теории вероятностей (120
Тогда плотность |
fS (z) имеет вид |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
ln |
2 |
, |
z (0; 2]; |
f |
S |
(z) F |
(z) |
|
2 |
z |
||||
|
|
S |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
0, |
|
|
z (0; 2]. |
||
2. ЗАДАЧИ ТИПОВОГО РАСЧЕТА
Задача 1. Одновременно подбрасывают две игральные кости. В вариантах 1—10 найти вероятность того, что сумма выпавших очков: 1) равна k; 2) меньше k + 1; 3) больше k – 1; 4) заключена в
промежутке ; . В вариантах 11—30 найти вероятность того, что произведение выпавших очков: 1) равно k; 2) меньше k + 1; 3) больше k – 1; 4) заключено в промежутке ; .
Задача 2. На некоторое обслуживающие устройство поступают две заявки. Каждая может поступить в любой момент времени
в течение Т минут. Время обслуживания первой заявки 1 минут,
второй — 2 минут. При поступлении заявки на занятое устройство она не принимается. При поступлении заявки на свободное устройство даже в последний момент времени Т она обслуживается. Найти вероятность того, что: 1) обе заявки будут обслужены; 2) будет обслужена ровно одна заявка.
Задача 3. Задана структурная схема надежности системы, состоящей из пяти элементов. Событие Аi — отказ i-го элемента за некоторый промежуток времени. Вероятности безотказной работы
элементов заданы: P( Ai ) 0,95, |
i 1,3,5; |
P( Aj ) 0,9, |
j 2,4. |
Событие А состоит в безотказной работе всей системы за рассматриваемый промежуток времени (события Аi независимы в
совокупности). Требуется: 1) выразить событие А через Аi или Аi
( i 1, …, 5); 2) найтивероятностьР(А) безотказнойработысистемы. Задача 4. Из партии, содержащей п изделий, среди которых k — высшего сорта, для контроля последовательно выбирают на-
угад m изделий. Найти вероятность того, что среди выбранных изделий окажется ровно l изделий высшего сорта при условии, что
26
выборка производится: 1) с возвращением (выбранное изделие после проверки возвращается обратно в партию); 2) без возвращения (выбранное изделие в партию не возвращается).
Задача 5. На склад поступили детали, изготовляемые на трех станках. На i-м станке изготовлено Ri % деталей ( i 1, 2, 3 ). Веро-
ятность выпуска бракованных деталей на i-м станке равна Pi (i 1, 2, 3). 1) определить вероятность того, что деталь, наудачу
взятая со склада, оказалась бракованной; 2) пусть наудачу взятая деталь оказалась бракованной. Найти вероятность того, что она изготовлена на j-м станке.
Задача 6. В отдел технического контроля поступает партия, содержащая N изделий, среди которых имеется М бракованных. Для проверки контролер отбирает три изделия, при этом в бракованном изделии он обнаруживает брак с вероятностью Р. Партия бракуется, если среди трех отобранных для проверки изделий обнаружено хотя бы одно бракованное изделие. Найти вероятность того, что данная партия изделий будет забракована.
Задача 7. Произведено п независимых выстрелов по мишени с вероятностью попадания р. Пусть случайная величина — число
попаданий в цель. Для случайной величины найти: 1) распределение вероятностей; 2) функцию распределения и построить ее график; 3) вероятность попадания случайной величины в интервал
( ; ); 4) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение.
Задача 8. Непрерывная случайная величина имеет плотность распределения вероятностей f (x). Для случайной величины
найти: 1) ее функцию распределения F(x) и построить графики функции распределения F(x) и плотности распределения вероятностей f (x); 2) вероятность попадания случайной величины в ин-
тервал ( ; ); 3) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение.
Задача 9. Плотность распределения вероятностей случайной
величины имеет вид |
f (x) |
kx, |
x [0;c], |
Случайная величина |
0, |
x [0;c]. |
связана со случайной величиной функциональной зависимостью a 2 b. Найти: 1) константу k; 2) математическое ожи-
27
дание и дисперсию случайной величины , используя плотность
распределения вероятностей случайной величины ; 3) функцию распределения и плотность распределения вероятностей случайной величины и построить их графики; 4) математическое ожи-
дание и дисперсию случайной величины , используя найденную плотность распределения вероятностей.
Задача 10. Дана система двух дискретных случайных величин
( , ), |
закон распределения |
которой |
задан таблицей |
pij |
|
P xi , y j |
i 1, 2, 3, j |
1, , 4, |
где x1 2, x2 3, |
x3 5, |
|
y1 1, |
y2 0, y3 |
1, y4 2. |
Найти: |
1) законы распределения |
|
случайных величин и ; 2) математические ожидания и дисперсии случайных величин и ; 3) коэффициент корреляции r ;
4) условные распределения P xi y2 , P y j x2 ; 5) условные математические ожидания M y2 , M x2 .
Задача 11. Система непрерывных случайных величин ( , ) распределена равномерно в области D, ограниченной линиями
x a, y b, y x . Найти: 1) совместную плотность распределения f (x; y), предварительно построив область D; 2) плотности вероятности случайных величин и ; 3) математические ожида-
ния и дисперсии случайных величин и ; 4) коэффициент корре- |
||
ляции r ; 5) условные плотности распределения |
f x y |
и |
f y x ; 6) условные математические ожидания M y , M x ,
уравнения линий регрессии и построить их графики.
Задача 12.
а) Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины a b c, где ( , ) — система случайных величин
из задачи 11; б) Найти функцию распределения, плотность и математиче-
ское ожидание площади прямоугольника с вершинами в точках
(0; 0), (0; ), ( ; 0), ( ; ), где ( , ) — система случайных величин из задачи 11.
28
3. ВАРИАНТЫ ТИПОВОГО РАСЧЕТА
Номер |
Задача 1 |
Задача 2 |
|
|
Задача 4 |
|
|
Задача 7 |
|
||||||
варианта |
k |
α |
β |
T |
1 |
2 |
n |
|
k |
m |
l |
n |
p |
α |
β |
1 |
3 |
4 |
6 |
100 |
5 |
5 |
12 |
|
6 |
6 |
5 |
4 |
0,2 |
–1 |
0,5 |
2 |
4 |
2 |
5 |
100 |
5 |
10 |
12 |
|
6 |
6 |
4 |
4 |
0,3 |
0,5 |
3 |
3 |
5 |
3 |
7 |
100 |
5 |
15 |
12 |
|
6 |
6 |
3 |
4 |
0,4 |
1,5 |
2,5 |
4 |
6 |
2 |
6 |
100 |
5 |
20 |
12 |
|
6 |
6 |
2 |
4 |
0,5 |
1,5 |
3 |
5 |
7 |
3 |
5 |
100 |
5 |
25 |
12 |
|
7 |
6 |
5 |
4 |
0,6 |
0,5 |
2 |
6 |
8 |
3 |
4 |
100 |
10 |
10 |
12 |
|
7 |
6 |
4 |
4 |
0,7 |
1,3 |
2 |
7 |
9 |
3 |
8 |
100 |
10 |
15 |
12 |
|
7 |
6 |
3 |
4 |
0,8 |
2 |
3,5 |
8 |
10 |
4 |
7 |
100 |
10 |
20 |
12 |
|
7 |
6 |
2 |
4 |
0,9 |
1 |
3 |
9 |
2 |
9 |
12 |
100 |
10 |
25 |
12 |
|
7 |
6 |
1 |
5 |
0,1 |
0,5 |
4 |
10 |
11 |
8 |
12 |
100 |
10 |
30 |
12 |
|
8 |
6 |
5 |
5 |
0,2 |
–1 |
0,5 |
11 |
4 |
4 |
10 |
150 |
15 |
15 |
12 |
|
8 |
6 |
4 |
5 |
0,3 |
0,5 |
3 |
12 |
5 |
2 |
8 |
150 |
15 |
20 |
12 |
|
8 |
6 |
3 |
5 |
0,4 |
0,5 |
2,5 |
13 |
6 |
5 |
17 |
150 |
15 |
25 |
12 |
|
8 |
6 |
2 |
5 |
0,5 |
1,5 |
3 |
14 |
7 |
8 |
12 |
150 |
15 |
30 |
12 |
|
9 |
6 |
5 |
5 |
0,6 |
0,5 |
2 |
15 |
8 |
10 |
13 |
150 |
15 |
35 |
12 |
|
9 |
6 |
4 |
5 |
0,7 |
1,3 |
2 |
16 |
9 |
20 |
28 |
150 |
20 |
20 |
12 |
|
10 |
6 |
4 |
5 |
0,8 |
2 |
3,5 |
17 |
10 |
30 |
35 |
150 |
20 |
25 |
12 |
|
6 |
5 |
4 |
5 |
0,9 |
1 |
3 |
18 |
11 |
21 |
26 |
150 |
20 |
30 |
12 |
|
6 |
5 |
3 |
6 |
0,1 |
3 |
4 |
19 |
12 |
15 |
18 |
150 |
20 |
35 |
12 |
|
6 |
5 |
2 |
6 |
0,2 |
2 |
6 |
20 |
13 |
20 |
23 |
150 |
20 |
40 |
12 |
|
7 |
5 |
4 |
6 |
0,3 |
1,5 |
4 |
21 |
14 |
19 |
24 |
200 |
25 |
25 |
12 |
|
7 |
5 |
3 |
6 |
0,4 |
1 |
6 |
22 |
15 |
24 |
28 |
200 |
25 |
30 |
12 |
|
7 |
5 |
2 |
6 |
0,5 |
2 |
7 |
23 |
16 |
28 |
31 |
200 |
25 |
35 |
12 |
|
7 |
5 |
1 |
6 |
0,6 |
4 |
7 |
24 |
17 |
21 |
36 |
200 |
25 |
40 |
12 |
|
8 |
5 |
4 |
6 |
0,7 |
0,5 |
3 |
25 |
18 |
17 |
22 |
200 |
25 |
45 |
12 |
|
8 |
5 |
3 |
6 |
0,8 |
–1 |
4 |
26 |
19 |
15 |
19 |
200 |
30 |
30 |
12 |
|
8 |
5 |
2 |
6 |
0,9 |
–2 |
3 |
27 |
20 |
22 |
28 |
200 |
30 |
35 |
12 |
|
8 |
5 |
1 |
3 |
0,1 |
0 |
2 |
28 |
21 |
10 |
15 |
200 |
30 |
40 |
12 |
|
9 |
5 |
4 |
3 |
0,2 |
0,5 |
3 |
29 |
24 |
12 |
18 |
200 |
30 |
45 |
12 |
|
9 |
5 |
3 |
3 |
0,3 |
–1 |
1,5 |
30 |
25 |
3 |
8 |
200 |
30 |
50 |
12 |
|
9 |
5 |
2 |
3 |
0,5 |
2 |
4 |
29
Схемы к задаче 3
Вариант 1 |
Вариант 2 |
Вариант 3 |
|
|
|
|
|
|
Вариант 4 |
Вариант 5 |
Вариант 6 |
|
|
|
|
|
|
Вариант 7 |
Вариант 8 |
Вариант 9 |
|
|
|
|
|
|
Вариант 10 |
Вариант 11 |
Вариант 12 |
|
|
|
|
|
|
Вариант 13 |
Вариант 14 |
Вариант 15 |
|
|
|
|
|
|
30