Материал: Выполнение типового расчета по теории вероятностей (120
P H0 |
120 |
0,264; |
P H1 |
225 |
0,494; |
||
|
455 |
|
|
455 |
|
||
P H2 |
100 |
0,22; |
P H3 |
10 |
|
|
0,022. |
455 |
455 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
Найдем условные |
вероятности |
P А |
|
Hi . Ясно, что |
|||
|
|||||||
P А H0 0. Далее P А H1 0,9. Для поиска остальных услов-
ных вероятностей воспользуемся формулой сложения вероятно-
стей для независимых событий:
P Аi 1 1 P Ai .
i
Эта формула дает
P А H2 1 1 0,9 2 0,99; P А H3 1 1 0,9 3 0,999.
Окончательно получаем
P A 0 0,264 0,9 0,494 0,99 0,22
0,999 0,022 0,684378 0,68.
Пример 7. Из урны, содержащей четыре белых и шесть черных шаров, последовательно наугад извлекают пять шаров (вы-
борка с возвращением). Случайная величина — число белых ша-
ров в выборке. Для случайной величины найти: 1) распределение вероятностей; 2) функцию распределения и построить ее график;
3)вероятность попадания случайной величины в интервал (1; 5);
4)математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение.
Решение. Так как выборка осуществляется с возвращением,
вероятность извлечь белый шар остается постоянной (р 0,4) и не зависит от результатов предыдущих испытаний. Таким образом,
случайная величина — число успехов в схеме Бернулли с числом испытаний п 5 и вероятностью успеха р 0,4. Для схемы Бернулли имеем pk P k Cnk pk 1 p n k , k 0, ..., n. В нашем случае
11
p0 P 0 C50 (0,4)0 0,6 5 0,07776;
p1 P 1 C51 (0,4)1 0,6 4 0,2592;
p2 P 2 C52 (0,4)2 0,6 3 0,3456;
p3 P 3 C53 (0,4)3 0,6 2 0,2304;
p4 P 4 C54 (0,4)4 0,6 1 0,0768;
p5 P 5 C55 (0,4)5 0,6 0 0,01024.
Таким образом, закон распределения случайной величины задается таблицей
xk |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
4 |
|
5 |
pk |
0,07776 |
0,2592 |
0,3456 |
0,2304 |
|
0,0768 |
|
0,01024 |
Функция распределения кусочно постоянна: |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
0, |
x 0, |
|
||
|
|
|
|
0,07776, |
0 x 1, |
|
||
|
|
|
|
|
1 x 2, |
|
||
|
|
|
|
0,33696, |
|
|||
|
F x P x |
|
|
2 x 3, |
|
|||
|
pk 0,68256, |
|
||||||
|
|
|
k x |
0,91296, |
3 x 4, |
|
||
|
|
|
|
|
4 x 5, |
|
||
|
|
|
|
0,98976, |
|
|||
|
|
|
|
|
x 5. |
|
||
|
|
|
|
1, |
|
|||
На рис. 5 представлен ее график.
Вероятность попадания случайной величины в интервал вычисляется по формуле
P a; b F (b) F (a 0) F (b) |
lim F (x). |
|
x a 0 |
12 |
|
Следовательно,
P 1; 5 F (5) F(1 ) F (5) F(2)
0,98976 0,33696 0,6528.
Рис. 5. График функции распределения
Найдем числовые характеристики случайной величины . Математическое ожидание
Μ xk pk 0 0,07776 1 0,2592 2 0,3456
k
3 0,2304 4 0,0768 5 0,01024 2.
Дисперсия
D xk M 2 xk2 pk M 2
k |
k |
0 0,07776 1 0,2592 4 0,3456 9 0,2304
16 0,0768 25 0,01024 4 1,2.
Среднее квадратичное отклонение
|
D |
1,2 1,1. |
13
Пример 8. Непрерывная случайная величина распределена по закону Рэлея с плотностью f (x) 22 xe 2 x2 , x 0. Для случайной величины с параметром 0,5 найти: 1) ее функцию распределения F(x) и построить графики функции распределения F(x) и плотности распределения вероятностей f (x); 2) вероятность попадания случайной величины в интервал 0,5;1,5 ; 4) ма-
тематическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение.
Решение. Исходя из определения плотности распределения случайной величины запишем
x
F(x) f (t)dt
0, |
|
x 0, |
x |
1 |
1 t2 |
|
2 |
t e 4 dt, x 0, |
0 |
|
0, |
x 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
x 0. |
1 e |
4x , |
||
|
|
|
|
Графики функции распределения и плотности изображены на рис. 6.
Рис. 6. Функция распределения и плотность случайной величины
Найдем вероятность попадания в интервал случайной величи-
ны 0,5;1,5 :
P 0,5;1,5 F 1,5 F(0,5) e 0,5625 e 0,0625 0,37.
14
При подсчете числовых характеристик случайной величины
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
удобно |
|
использовать гамма-функцию |
|
Эйлера |
Г t 1e t dt, |
|||||||||||||||
обладающую свойствами: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
Г 1 ; |
Г 1 1; |
|
|
1 |
|
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
Г |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
Найдем математическое ожидание : |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
e |
x2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
M x f x dx |
|
|
dx |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
2t 2 e t dt |
|
Г |
|
. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
2Г |
2 |
2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Здесь в интеграле использована замена |
|
переменной t x4 / 4. |
||||||||||||||||||
Аналогично найдем дисперсию : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
x M 2 f x dx x2 f x dx M 2 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x |
|
e |
|
dx 4te t dt 4Г 2 4Г 1 4 . |
|||||||||||||||
|
4 |
|||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
0 |
|
2 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Среднее квадратичное отклонение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
4 0,93. |
|
|
||||||||
Пример 9. Плотность распределения вероятностей случайной |
||||||||||||||||||||
величины имеет вид |
f (x) |
kx, |
x [0;1,5], |
Случайная вели- |
||||||||||||||||
|
x [0;1,5]. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
|
|
||||||||
чина связана с |
функциональной |
зависимостью 42 7. |
||||||||||||||||||
Найти: 1) константу k; |
2) математическое ожидание и дисперсию |
|||||||||||||||||||
случайной величины , используя плотность распределения вероятностей случайной величины ; 3) функцию распределения и
15