Материал: Выполнение типового расчета по теории вероятностей (120

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

плотность распределения вероятностей случайной величины и построить их графики; 4) математическое ожидание и дисперсию случайной величины , используя найденную плотность распределения вероятностей.

Решение. Константу k найдем из условия нормировки

f x dx 1. Получим

							x dx				1,5					9k
				f			x dx			kxdx						9k		1.
											0					8
											0
	Следовательно, k						8 .
							9
	Для вычисления математического ожидания случайной ве-
личины воспользуемся												формулой										M M g

	g x f x dx. Получим

			1,5						8				8				7						1,5			5
			1,5																				1,5
	M 4 x					2		7		xdx					4					x	2						.
	M 4 x							7		xdx				x						x							.
			0						9				9				2						0			2
	Дисперсия		0						9				9				2						0			2
	Дисперсия
												x f x dx M 2
	D D g g 2											x f x dx M 2

						1,5				7 2 8 xdx 25
				4x2						7 2 8 xdx 25
							0					9					4
							0
		8	16	x	6			56	x	4		49	x	2	1,5			25						27	.
		8	16		6			56		4		49		2	1,5			25						27
		9						4				2							4					4
		9	6					4				2			0				4					4
															0

Найдем функцию распределения случайной величины :

	0,			x 0,			0,							x 0,
x	x	8							4		2
F x f t dt			t dt,	0 x 1,5,						x			, 0	x 1,5,
		9							9
	0													x 1,5.
			x 1,5,				1,
	1,
Далее ищем функцию распределения случайной величины :
F x P x		P 4		2	7 x			2				x 7
						P
													4

	0,													x 7;
					x 7			x			7
					x 7			x			7
	P					x						,		7 x 2,
	P			4		x			4			,		7 x 2,
				4					4
													x 2,
	1,												x 2,
	0,													x 7,
					x 7					x	7
					x 7					x	7
	F					F								, 7 x	2,
	F			4		F					4			, 7 x	2,
				4							4
														x 2,
	1,													x 2,
0,						x 7,						0,			x 7,
												0,			x 7,
	x 7	2
4													1
4													1	x 7 ,
			0,			7 x 2,									7 x 2,
	4		0,			7 x 2,							9		7 x 2,
9	4												9		x 2,
						x 2,						1,			x 2,
1,						x 2,
По определению плотности распределения случайной величи-
ны имеем
									1	,		x 7;2 ,
			f	x		F x			9	,		x 7;2 ,
			f	x		F x			9
												x 7;2 .

							0,
															17

Таким образом, случайная величина имеет равномерное распределение на отрезке 7;2 . Графики ее плотности и функции распределения изображены на рис. 7.

Рис. 7. Функция распределения и плотность случайной величины

Найдем числовые характеристики случайной величины , используя ее плотность распределения. Для математического ожидания получим

M	x f x dx	2	x	1 dx		x2	2	5 .

					18
				9				2
		7					7

Аналогично, находим дисперсию случайной величины :

D	x2	f x dx M 2	2	x2 1 dx	25	x3	2	25	27 .

					4	27		4
				9					4
			7				7

Убеждаемся в том, что результаты подсчета числовых характеристик различными способами совпадают.

xi			yj
xi	–1	0		2	4
	–1	0		2	4
1	0,1	0		0,15	0,05
3	0,15	0,15		0	0,1
5	0,2	0		0,1	0

Пример 10. Дана система двух дискретных случайных величин , , закон распределения которой задан таблицей. Найти:

1) законы распределения случайных величин и ; 2) математические ожидания и дисперсии случайных величин и ; 3) коэффи-

циент	корреляции r ; 4) условные распределения		P xi	y3 ,
циент	корреляции r ; 4) условные распределения		P xi	y3 ,
P y j	x3 .
P y j	x3 .
Решение. Найдем законы распределения случайных величин
и . Пусть pij P xi , y j , i 1,2,3 y 1, 2, 3, 4. Тогда
	pi P xi pij ;	p j P y j pij .
	j	i

Простые вычисления дают законы распределения случайных ве-

личин и .

Сведем полученные вероятности в таблицы:

хi	1	3	5
p	0,3	0,4	0,3
i

y j	–1	0	2	4
p j	0,45	0,15	0,25	0,15

Найдем числовые характеристики случайных величин:

M xi pi 1 0,3 3 0,4 5 0,3 3;

M y j pj 1 0,45 0 0,15 2 0,25 4 0,15 0,65;

D xi2 pi M 2	1 0,3 9 0,4 25 0,3 9 2,4;
i

D y2j p j M 2

1 0,45 0 0,15 4 0,25 16 0,15 0,4225 1,9775.

Для подсчета коэффициента корреляции случайных величини сначала найдем их ковариацию:

cov , M M M

xi y j pij M M

1 1 0,1 1 2 0,15 1 4 0,05 3 1 0,15 3 4 0,1

5 1 0,2 5 2 0,1 3 0,65 0,7.

Коэффициент корреляции
,	cov ,	0,7	0,23.
	D D	2,4 1,9775

Далее найдем условные законы распределения по формулам

P xi	y3	p		P y j		x3	p3 j

		i3	;					.
		p					p

		3			3

Сведем полученные вероятности в таблицы:

xi		1	3	5
P xi	y3	0,6	0	0,4
P xi	y3	0,6	0	0,4

y j		–1	0	2	4
P y j	x3	2/3	0	1/3	0
P y j	x3	2/3	0	1/3	0

Пример 11. Дана система двух непрерывных случайных величин ( , ) с совместной плотностью распределения f (x, y)

C, (x, y) D,

	0, (x, y) D.	Область D ограничена кривыми х 1, у 0, у
	0, (x, y) D.

2х2 (рис. 8).

Найти: 1) совместную плотность распределения f (x, y),

предварительно построив область D; 2) плотности вероятности случайных величин и ; 3) математические ожидания и дисперсии случайных величин и ; 4) коэффициент корреляции r ;

5) условные плотности распределения f x		y и	f y		x ; 6) ус-

ловные математические ожидания M y , M x , уравнения линий регрессии и построить их графики.

Источник: https://studfile.net/preview/16724850/

Смотрите также:

_-___-~1
_3 тема - Диффузия
_Роджерс Карл, Брак и его альтернативы
'Заповит' Рейнгольда Глиэра: стилистические особенности
'Создание и продвижение интернет - платформы реферальной системы' на примере компании Бартер–кард
[БИЛЕТЫ] IMK №3
[ТЕСТЫ] ИМК №1 по физиологии (база 1 семестр и на экз)
[ТЕСТЫ] Спланхнология
[ТЕСТЫ] ЦНС - ЛУЧШИЕ 2020
+ Проблемы криминологии. Курс лекций