Материал: Выполнение типового расчета по теории вероятностей (120

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Рис. 8. Область D, на которой задано распределение ( , )

Решение.

1. Константа C определяется из условия нормировки

	1	2 x2	1	2C x3	1	2C .

1 f (x, y) dx dy dx			C dy C 2 x2 dx
	0	0	0	3	0	3

Отсюда получим С 3/2. Область D уже показана на рис. 8. 2. Плотность f (x) случайной величины определяется ин-

тегрированием совместной плотности f (x, y) по всем возможным при данном х значениям случайной величины (из рис. 8 непосредственно видно, что 0 2 x2 ). Имеем

f (x)	f (x, y) dy	2 x2	3 dy 3x2	,	0 x 1.
			2
		0

Совершенно аналогично

	1	3		3
		2		2
f ( y)			dx		1	y / 2 , 0 y 2.

y / 2

3. Математические ожидания и дисперсии каждой величины, определяются согласно формулам для вычисления моментов скалярных случайных величин (см. пример 8). Имеем:

M													3	2							y
					y f ( y) dy									y		1							dy
					y f ( y) dy								2	y		1					2		dy
													2	0							2
														0
	3 y2					2	y	5/ 2				2			3					8					3
	3 y2					2		5/ 2				2			3					8					3
																	2										;
	2		2		5 2										2		2			5					5		;
	2		2		5 2							0			2					5					5
M											1								3x			4		1				3
											1											4		1
			x f ( x) dx x 3x2 dx																										;
											0									4				0				4
											0				3	2								0	y					9
			y dy M									2			3	2									y					9
D y2 f																y2		1								dy
D y2 f															2	y2		1							2	dy				25
															2	0									2					25
																0
		3 y3				2			y	7 / 2				2		9					37				;
		3 y3				2				7 / 2				2		9					37


		2		3		7	2							0		25				175
														0

			1			9		3x	5	1		9			3
			1						5	1
D		x2 f x dx M 2 x2 3x2dx														.
D		x2 f x dx M 2 x2 3x2dx						5			16				80	.
			0		16			5		0	16				80
			0	r						0
	4.	Коэффициент	корреляции	r	вычисляется					по		формуле
r	M ( ) M ( ) M ( ) . В этом			выражении			неизвестен							только
		D( ) D( )
		D( ) D( )
смешанный момент второго порядка M ( ) :
	M ( ) xy f (x; y) dxdy 3			1	2 x2		3	1					1.
	M ( ) xy f (x; y) dxdy 3			xdx ydy			3	2x5dx					1.
		D	2	0	0		2	0					2
		D		0	0			0

Тогда

1 3 3

r 2 4 5 0,56. 3 37

80 175

5. Условные плотности распределения

f x

y и

f y

x оп-

ределяются по формулам

f x

f (x, y)

3 2

( y)

y / 2

1 y / 2

3 2 1

Необходимо обратить внимание на то, что возможные значения
аргумента х здесь зависят от у и меняются в пределах
		y / 2; 1 .

Переменная у здесь играет роль параметра и может принимать любое значение в промежутке [0; 2]. Рассуждая аналогично, получим

для f y x выражение

f (x, y)

3 2

; 0

y 2x2 ; 0 x

3x2

2x2

f (x)

6. Общие формулы для условных математических ожиданий

y ,

имеют

вид

x f (x

( y) dx,

y f ( y x) dy. Учитывая замечание предыдущего пункта о воз-

можных значениях случайной величины при фиксированном значении другой случайной величины, получим

M	y		1				1								1				x	2		1
			1																	2		1
				x				dx


					1		y 2					1				y	2		2
					1		y 2					1				y	2		2
			y / 2	1			y 2 2				1 y 2											y 2
			y / 2																			y 2
																		.
																		.
							y 2								2
				2 1											2
				2 1
			2x2											2		2 x2					4
			2x2											2		2 x2					4
M		x		y	1		dy		1				y						4x		2 x2 .
					1				1				y						4x
						2				2
					2x	2		2x		2	2								4x
			0													0
			0													0

Графики условных математических ожиданий показаны на рис. 9.

Рис. 9. Графики условных математических ожиданий

Пример 12. а) Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины z 3 8 4, где , — система слу-

чайных величин из примера 11; б) Найти функцию распределения, плотность и математическое ожидание площади прямоугольника с вершинами в точках (0; 0), (0; ), ( ; 0), ( ; ), где ( , ) — систе-

ма случайных величин из примера 11.

Решение.

а)

M (z) M (3 8 4) 3M 8M 4 94 245 4 2920 ;

D(z) D(3 8 4) D(3 8 )

9D 64D 2 3 ( 8)cov( , )

9D 64D 2 3 ( 8)(M ( ) M M )

8027 2368175 48 201 11,49.

б)	Так как	0, 0,	площадь прямоугольника S .
Проще	всего	вычислить	среднее значение MS M ( )

cov ( , ) M M 0,5.

Рис. 10. Разбиение области интегрирования

Легко заметить, что возможные значения S лежат в интервале
0; 2 . Функция распределения FS (z) случайной величины S вы-
числяется как интеграл от совместной плотности		f (x, y) по об-
ласти Dz (x, y)	x y z D, 0 z 2 (см. рис.	10). Разбивая

область

интегрирования

на

две

части

Dz D1z Dz2 ,

D1z

(x, y)

xy z D, 0 x x0 , Dz2 (x, y)

x y z D, x0 x 1 ,

где x 3 z 2

— абсцисса точки пересечения кривых

y 2x2 ,

x y z,

получим

FS (z) P( z) f (x, y)dx dy

f (x, y) dx dy f (x, y) dx dy

D1z

Dz2

3 x0

2 x2

z / x

2x2 dx

2 x

z ln x

, 0 z

Источник: https://studfile.net/preview/16724850/

Смотрите также:

_-___-~1
_3 тема - Диффузия
_Роджерс Карл, Брак и его альтернативы
'Заповит' Рейнгольда Глиэра: стилистические особенности
'Создание и продвижение интернет - платформы реферальной системы' на примере компании Бартер–кард
[БИЛЕТЫ] IMK №3
[ТЕСТЫ] ИМК №1 по физиологии (база 1 семестр и на экз)
[ТЕСТЫ] Спланхнология
[ТЕСТЫ] ЦНС - ЛУЧШИЕ 2020
+ Проблемы криминологии. Курс лекций