Материал: ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА_ГОРНЫЙ

СПБГУАП группа 4736 Контакты https://new.guap.ru/i03/contacts

откуда следует, что x = 2 будет точкой перегиба данной функции. Левее этой точки график функции обращен выпуклостью вверх, а правее – выпуклостью вниз.

График функции у = 3хе–х представлен на рис.6.14.

6.2.6.Асимптоты графика функции

Впрактических задачах часто представляет интерес исследование поведения функции и формы ее графика при неограниченном удалении его точек от начала координат. При этом неограниченно возрастают по абсолютной величине либо обе координаты точек графика, либо одна из них.

Может случиться, что когда точка M(x, f (x)) «стремится по графику в

бесконечность», график функции у = f(x) неограниченно приближается к некоторой прямой (рис.6.15). В этом случае, расстояние от такой прямой, называемой асимптотой, до графика функции стремится к нулю.

Можно выделить следующие типы асимптот.

1. Наклонные и горизонтальные (как частный случай) асимптоты.

Определение. Прямая, заданная уравнением у = kx + b, называется наклонной асимптотой графика функции у = f(x) при x → +∞ (или при x → –∞), если

92

СПБГУАП группа 4736 Контакты https://new.guap.ru/i03/contacts

На рис.6.15 схематически изображены именно наклонные асимптоты.

Если k 0, то уравнение y b задает горизонтальную асимптоту.

Пусть график функции у = f(x) имеет асимптоту y kx b при x

(рис.6.15, а). Тогда имеет место равенство (6.35): f x kx b x , где

x 0 при x . Разделив обе части (6.35) на х и переходя к пределу при x , получим

y kx b, то справедливы соотношения (6.36) и (6.37). Обратно, если суще-

ствуют конечные пределы (6.36) и (6.37), то из соотношения (6.37) сразу получаем (6.35), т.е. приходим к наличию наклонной асимптоты.

ние k по формуле (6.36), а затем вычислить b по формуле (6.37), в которую подставлено найденное значение k.

Если хотя бы один из пределов (6.36) или (6.37) бесконечен или не существует, то график функции у = f(x) не имеет наклонной асимптоты. При x нужно провести такие же аналогичные действия, но пределы, (6.36) и (6.37) вычисляются при x (рис.6.15, б).

2. Вертикальные асимптоты.

Определение. Прямая x = a называется вертикальной асимптотой гра-

фика функции у = f(x), если хотя бы одно из предельных значений lim f x ,

x a 0

lim f x равно или . Из определения следует, что для отыскания

x a 0

вертикальных асимптот графика функции у = f(x) нужно найти точки, вблизи которых данная функция неограниченно возрастает (в частности, точки бесконечного разрыва). Если a такая точка, то уравнение x = a задает вертикальную асимптоту графика функции у = f(x).

Пример 6.17. Найти асимптоты графика функции y x 2arctgx. Решение. Функция y x 2arctgx определена и непрерывна при всех ,

поэтому вертикальных асимптот график функции не имеет.

93

СПБГУАП группа 4736 Контакты https://new.guap.ru/i03/contacts

Ищем уравнения наклонных асимптот графика функции y x 2arctgx

в виде y kx b, где k и b находим по формулам (6.36) и (6.37):

b lim (x 2arctgx 1 x) lim ( 2arctgx)

Пример 6.18. Найти асимптоты графика функции y lnx.

Решение. Данная функция определена и непрерывна на промежутке X (0, ). Найдем ее предел в граничной точке множества определения,

т.е. при стремлении аргумента х к нулю справа: lim lnx . Таким обра-

По формуле (6.37) имеем

Поскольку последний предел бесконечен, то график функции y lnx не имеет наклонных асимптот.

6.2.7. Общий план исследования функций

Чтобы построить эскиз графика функции, нужно не только знать координаты некоторых точек, принадлежащих графику, но и представлять себе характер поведения данной функции на промежутках между известными точками. Результаты, изложенные ранее, дают возможность определить наиболее характерные точки каждой кривой: экстремумы и точки перегиба. Кроме

94

СПБГУАП группа 4736 Контакты https://new.guap.ru/i03/contacts

того, на основе изучения первой и второй производных заданной функции можно получить информацию о промежутках монотонности и характере выпуклости графика функции.

Эскиз графика функции можно уточнить, найдя точки пересечения кривой с осями координат. Точки пересечения графика функции у = f(x) с осью Ox определяются из уравнения: f(x)= 0. Точки пересечения графика функции у = f(x) с осью Oy можно найти, положив x = 0, т.е. вычислив значения f(0).

Некоторые характерные свойства графика можно установить без использования производных. В частности, таково свойство периодичности функции; свойство четности (f(–x) = f(x)) график четной функции симметричен относительно оси Oy , нечетности (f(–x) = –f(x)) график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Для исследования функции и построения четкого эскиза ее графика, можно рекомендовать следующий общий план исследования.

1.Установить область определения функции. При наличии точек разрыва найти в них односторонние пределы данной функции; определить, имеет ли график функции вертикальные асимптоты.

2.Найти наклонные асимптоты графика функции.

3.Отметить свойства графика функции, не связанные с производными, например, симметрию и периодичность.

4.Найти точки пересечения графика функции с осями координат.

5.Вычислив первую производную функции, установить промежутки ее возрастания и убывания, определить экстремумы.

6.С помощью второй производной исследовать характер выпуклости графика функции, найти точки перегиба.

образом, в точке x = 0 данная функция терпит бесконечный разрыв, а график функции имеет вертикальную асимптоту x = 0.

2. Определим, имеет ли график функции наклонные асимптоты. Найдем k и b:

Таким образом, при x → +∞ график функции имеет горизонтальную асимптоту y = 0. Легко получить, что при x → –∞ график данной функции имеет ту же самую асимптоту y = 0.

95

СПБГУАП группа 4736 Контакты https://new.guap.ru/i03/contacts

Первая производная обращается в бесконечность при x = 0, но эта точка не входит в область определения функции. Поэтому данная функция имеет единственную критическую точку x = 1, в которой f x 0.

Функция возрастает на промежутке, где f x 0. В данном случае про-

межуток возрастания x ,0 0,1 . Функция убывает там, где f x 0 ,

т.е. x 1, . Таким образом, в точке x = 1 данная функция имеет максимум: max f x f 1 1.

6. Найдем вторую производную: