Материал: ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА_ГОРНЫЙ

1

Следовательно, последовательность

xn

есть

последователь-

ность бесконечно малая.

2n

Пример 4.4. Доказать, что последовательность yn

1

есть после-

довательность бесконечно малая.

n3

Решение.

Возьмем

0. Из

неравенства

y

n

1

имеем

n3

y

n

1

n3

1

или n

1

.

n3

3

1. Выберем

0,1.

Тогда

n N1 E 3

E 2,15 2.

Таким образом,

10

2. Возьмем 0,01.

Тогда n N2 E 3

E 4,64 4.

Таким обра-

100

зом, при значениях n N2

4 все члены последовательности,

начиная с пя-

того, меньше 0,01 и т.д.

Следовательно, последовательность

y

1

есть последователь-

n

n3

4.8. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

Теорема 1. Сумма и разность бесконечно малых последовательностей

αn

и βn есть последовательность бесконечно малая.

Доказательство. Возьмем произвольное ε 0 и вычислим

ε

. Так как

2

αn

и βn – бесконечно малые последовательности, то по определению

Пусть N max N1,N2 . При значениях n > N оба неравенства

n

/2

и

n

/2

выполняются одновременно. Сложив их почленно, получим

n

n

(n N).

2

2

Так как

n n

n

n

,

то

n n

при n N . Следова-

тельно, сумма или

разность

бесконечно

малых

последовательностей

малых последовательностей.

Теорема 2. Произведение бесконечно малых последовательностей αn

и βn есть последовательность бесконечно малая.

Доказательство. Возьмем произвольное ε 0 и вычислим

. Так как

αn

и βn

– бесконечно малые последовательности, то по определению

имеем

n

при n N1

и

n

при n N2 .

Пусть

N max N1,N2 . При

n N

оба

неравенства

n

и

n

выполняются одновременно. Перемножая их почленно, получим

n n

n

n

(n N ).

Следовательно, произведение αn

βn

есть последовательность беско-

нечно малая.

Доказанная теорема обобщается на случай любого конечного числа

бесконечно малых последовательностей.

xn называется ограни-

Определение. Числовая последовательность

положительной константы, т.е.

xn

M для всех значений n , где M const,

M 0. Например, для n

xn ( 1)n

n

xn

1; xn

2 ( 1)

xn

1.

3

Теорема 3. Произведение ограниченной последовательности xn на

бесконечно малую последовательность αn

есть последовательность бес-

конечно малая.

Доказательство. Числовая последовательность xn

– ограниченная

последовательность, и потому

xn

M n

(M const,

M 0). Возьмем

13

малая, то по определению имеем

n

/М при всех

n N . Перемножая

неравенства

xn

M и

n

/М , получим

xn

n

M (n N ).

M

xn n

xn

Следовательно,

n

при всех n N .

в виде xn a αn или

xn a αn , где αn

– общий

член некоторой

бесконечно малой последовательности.

Очевидно, справедливо и обратное утверждение: если общий член по-

следовательности можно представить в виде

xn a αn ,

где αn беско-

Определение 2. Число

a называется

пределом последовательности

xn

( lim xn

a), если для любого сколь угодно малого положительного

n

N N , что при всех n N выполняется не-

числа ɛ найдется такой номер

равенство

xn

a

.

С помощью логических символов это определениеможно записать в виде

14

0 N n N :

xn a

.

n

Пример 4.5. Рассмотреть числовую последовательность x

1

1

n

n

и доказать, что xn 1

при n .

Решение. Для доказательства рассмотрим неравенство

x 1

1 n

1

n

1

.

n

n

n

рический

смысл

предела.

Пусть

xn a.

Тогда

для

0 N n N :

xn a

a xn a .

Определение 3. Интервал

(a ,a )

называется

окрестностью

точки x a .

a

Таким образом, сколь бы малую окрестность точки

ни взять, все

члены последовательности xn

, начиная с

некоторого

номера (n N ),

4.10. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ПРЕДЕЛОВ

Теорема 1. Числовая последовательность

xn может

иметь

только

один предел.

Доказательство (от противного). Пусть

xn a

и xn

b,

причем

a b. По определению предела xn a αn, xn

b βn,

где αn

и βn –

Это равенство является противоречивым, так как показывает, что общий

член

бесконечно

малой

последовательности αn

βn равен

постоянной

величине, отличной от нуля. Предположение a b

неверно и,

следователь-

но,

a b.

Замечание 1.

В

равенствах

можно

переходить к

пределу, т.е. если

x

y

n

, то lim x

n

lim y

n

.

n

n

n

Теорема 2. Если последовательность xn имеет своим пределом число

a (xn a ),

последовательность

yn

имеет своим

пределом число b

( yn b ) и при этом xn yn , то имеет место неравенство

a b.

Доказательство

(от противного).

Пусть

a b

и, следовательно,

a b k 0. По определению предела имеем

xn a αn ,

yn b βn,

Согласно неравенству xn yn

имеем a αn b βn или a b βn αn.

По предположению a b k 0

и потому βn αn k 0. Полученное

x

n

1

2

;

y

n

1

3

.

n

n

Из их задания видно, что xn yn . Однако lim xn lim yn 1 .

n

n

Теорема 3. Если числовая

последовательность xn

имеет своим

xn a

или a xn a .

Используя

левую часть двойного неравенства с учетом a p ,

получим xn p

при n N .