Документ: ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА_ГОРНЫЙ, страницы 1-5

СПБГУАП группа 4736 Контакты https://new.guap.ru/i03/contacts

Теорема верна для любого конечного числа слагаемых, т.е.

A1 A2

AN

A1

A2

AN

N

AK

или

AK

.

Следствие 1.

A B

A

B

.

K 1

Доказательство.

A

(A B) B

A B

B

или

A B

A

B

.

Следствие 2.

A B

A

B

.

Доказательство. В

неравенстве

A B

A

B

,

заменив B на –B,

получим

A B

A

B

.

3.

A BC

A

B

C

.

4.A . B BA

Доказательство свойств 3 и 4 непосредственно вытекает из определения абсолютной величины.

4.3. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ И ОБЛАСТИ ЕЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

При изучении явлений, встречающихся в природе, приходится иметь дело с величинами постоянными и переменными.

Определение 1. Постоянной величиной называется величина, сохраняющая одно и то же значение (вообще или в данном процессе; в последнем случае постоянная величина называется параметром этого процесса).

Определение 2. Переменной величиной называется величина, которая может принимать различные числовые значения.

Во многих случаях ради общности формулировок удобно бывает рассматривать постоянную величину как переменную, принимающую одно и то же значение.

Определение 3. Переменная величина у называется функцией переменной x, если каждому значению x X ( X – некоторая область изменения переменной x) ставится в соответствие (по некоторому правилу или закону) одно определенное значение переменной y Y (Y некоторая область изменения функции у). Указанный факт записывается в виде

yf (x).

Вэтой главе рассматриваются вещественные функции вещественных переменных.

Вусловиях определения переменная x называется независимой пере-

менной или аргументом, а переменная y – функцией или зависимой пере-

менной.

Если область определения функции не задается, то будем ее находить в соответствии со следующим определением.

7

СПБГУАП группа 4736 Контакты https://new.guap.ru/i03/contacts

Определение 4. Множество значений аргумента, для которых функция имеет смысл (говорят, функция определена), т.е. принимает конечные и вещественные значения, называется областью определения или существования функции (естественная область определения).

Наиболее часто область определения функции представляет собой от-

крытый интервал(a,b),	т.е.	совокупность всех чисел x, удовлетворяющих
неравенству a x b	или	отрезок (замкнутый интервал) a,b, , т.е.

совокупность всех чисел x, удовлетворяющих неравенству a x b.

В некоторых случаях областью определения функции является полуинтервал a,b или a,b . Рассматриваются также бесконечные интервалы вида

,a , b, ,( , ) или полуинтервалы ,a , b, .

Пример 4.1. Найти область определения функции y 9x x3 .

Решение.

Данная

функция

определена,

если

9x x3 0

x x 3 x 3 0. Для решения полученного неравенства

x x 3 x 3 0

рассмотрим вспомогательную функцию

~

y x(x 3)(x 3). Эта функция име-

ет

три корня

x 0, x

3, x 3.

Схематично

график

функции

~

y

представлен на рис.4.1.

Из рис.4.1

~

при

видно, что y 0

x 3

и на отрезке 0;3 . Следова-

О

–3

3

х

тельно,

функция

y

9x x3 опре-

Рис.4.1

делена

на

множестве

x , 3 0;3 .

Пример 4.2. Найти область определения функции y arcsin lg x 10 .

Решение. Для того чтобы логарифм имел смысл, необходимо выполне-

ние неравенства x/10 0

или

x 0.

Обратная тригонометрическая функция

y arcsin lg x 10 определена,

если ее аргумент

lg x 10

удовлетворяет не-

равенству 1 lg x 10 1

или lg 110 lg x 10 lg10. Из свойств логариф-

мов

следует,

что данное неравенство равносильно неравенству

вида

110 x 10 10

или 1 x 100 1 x 100 . Следовательно,

областью опреде-

ления функции y arcsin lg x 10 является отрезок 1;10 .

4.4.ОСНОВНЫЕ СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИИ

1.Аналитический способ. Закон соответствия между X и Y определяется формулой, которая показывает, какие действия и в какой

последовательности нужно выполнить, чтобы по данному x X найти y Y . Например,

y x2 x 2,	y	sin3x	,	y arctg5x cos3x.

		x2 1

8

СПБГУАП группа 4736 Контакты https://new.guap.ru/i03/contacts

Такое задание функций называется явным.

Если функция задана уравнением, неразрешенным относительно y , то в этом случае функция задана неявно. Например,

x2 y2 1, sin(x y) ln x ln y 2.

2. Табличный способ. Закон соответствия между областями

X и Y

задается в форме таблицы вида

Х

х1

х2

х3

хn

Y

у1

у2

у3

уn

Таковы, например, таблицы тригонометрических функций, таблицы ло-

гарифмов и др.

3. Графический способ. Закон соответствия между областями

X и Y

задается графиком функции

y f (x)

в

некоторой

системе координат

(рис.4.2).

Определение. Графиком функции

у

M = (x, f (х))

y = f (х)

называется множество точек плоскости

xOy , абсциссы которых являются

значениями независимой

переменной,

f (х)

а ординаты

–

соответствующими

значениями

функции,

т.е.

Гf =

О

х

x, y f x .

Рис.4.2

Рассмотрим функцию y kx b.

Ее графиком является прямая линия, отсекающая от оси ординат отре-

зок, равный b

(с учетом знака b), тангенс угла наклона которой равен k ,

т.е. tg k.

то прямая с уравнением y b параллельна оси абсцисс.

Если k =0,

Если b=0, то прямая линия с уравнением

y kx проходит через начало

координат.

4.5. КЛАССИФИКАЦИЯ ФУНКЦИЙ

Простейшими элементарными функциями называются следующие

функции:		f x c, где с const;
1)	постоянная функция
2)	степенная функция	f x xα , где α – любое вещественное число;
3)	показательная функция f x ax (a 0;a 1);
4)	логарифмическая функция f x loga x (a 0;a 1);
5)	тригонометрические функции sinx,cosx,tgx,ctgx и обратные триго-

нометрические функции arcsinx,arccosx,arctgx,arcctgx .

9

СПБГУАП группа 4736 Контакты https://new.guap.ru/i03/contacts

Все функции, получаемые с помощью конечного числа арифметических действий над простейшими элементарными функциями, а также суперпозицией (или наложением, т.е. образованием сложной функции – функции от функции)этих функций, составляют класс элементарных функций.

Примеры элементарных функций:

f x sin5x lg

x

3arctg x ; f x

x2 2cos x ;

f x

x

(

x

x2 ).

Имеет место следующая классификация элементарных функций. 1. Функция вида

Pn x a0xn a1xn 1 a2xn 2 ... an 1x an ,

где n N, a0,a1,...,an 1,an,... (a0 0) – коэффициенты (любые числа), называется целой рациональной функцией или алгебраическим многочленом степени n. Многочлен первой степени называется линейной функцией, многочлен второй степени – квадратической функцией.

2. Функция, представляющая собой отношение двух целых рациональных функций,

R x a0xn a1xn 1 a2xn 2 ... an 1x an b0xm b1xm 1 b2xm 2 ... bm 1x bn

называется дробно-рациональной функцией.

Совокупность целых рациональных и дробно-рациональных функций образует класс рациональных функций.

3. Функция, полученная с помощью конечного числа суперпозиций (наложений) и четырех арифметических действий над степенными функциями как с целыми, так и с дробными показателями и не являющаяся рациональной, называется иррациональной функцией. Например,

f x x

f x 3

; f x

5x2 4x 7

4

15

3 x2 ,

x2

x

2x2 8x 1

4. Всякая функция, не являющаяся рациональной или иррациональной, называется трансцендентной функцией. Например,

fx tgx ax; f x ln x cosx.

4.6.ПОНЯТИЕ ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Определение. Если каждому числу n из натурального ряда чисел 1,2,3,...,n,... поставлено в соответствие вещественное число xn , то множе-

ство вещественных чисел x1 , x2 , x3 ,...,xn ,... называется числовой последо-

вательностью или просто последовательностью.

10

СПБГУАП группа 4736 Контакты https://new.guap.ru/i03/contacts

Числа x1,x2,x3,...,xn,... будем называть элементами (членами) последо-

вательности, символ xn – общим элементом или общим членом последовательности, а n – его номером. Сокращенно последовательность будем обозначать символом xn .

Если рассматривать xn как переменную величину, то ее значения совпа-

дают с членами последовательности xn .

Замечание. Числовая последовательность считается заданной, если ука-

зано правило, позволяющее по номеру n											определить любой ее член. Пусть
задана числовая последовательность
						x	n		3	1			.
						x			3				.
											4n
											4n
Тогда x	3	1	,...,x	3	1	,...,x		3		1		,
Тогда x	3		,...,x	3		,...,x		3				,
1	4		5		45		10		410
	4				45				410

4.7. БЕСКОНЕЧНО МАЛАЯ ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ

Определение. Числовая последовательность xn называется бесконечно малой, если для любого сколь угодно малого положительного числа0 существует такой номер N N(ε), что при всех n N имеет место неравенство

xn .

Символическая запись определения бесконечно малой числовой последовательности

0 N n N :

xn

.

1

Пример 4.3. Доказать, что последовательность xn

есть после-

довательность бесконечно малая.

2n

Решение.

Возьмем

0.

Из

неравенства

x

n

1

имеем

2n

1

lg

2

n

. Отсюда

n log

.

2n

ε

2 ε

lg2

lg10

1. Выберем 0,1. Тогда n N1 E E 3,32 3. Заметим, что

lg2

E x наибольшая целая часть числа x, его не превосходящая. Таким обра-

зом, при значениях n N1 3 все члены последовательности, начиная с четвертого, меньше 0,1.

11

Материал: ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА_ГОРНЫЙ

Смотрите также: