Материал: ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА_ГОРНЫЙ

СПБГУАП группа 4736 Контакты https://new.guap.ru/i03/contacts

В силу непрерывности f(x) на отрезке с граничными точками x0 и x1, она принимает на этом интервале свое наименьшее значение в некоторой точке x2. Эта точка, очевидно, не может совпасть ни с x0, ни с x1, так как x0 – по

тиворечит условию теоремы о единственном экстремуме функции f(x) на X,

ках, воспользуемся теоремой 2 из раздела 6.2.3. Найдем вторую производную: f (x) 6x . Тогда f (x1) f ( 1) 6 ( 1) 6 0, значит, в точке x1 = –1 за-

достигает минимума min f (x) f (1) 13 3 1 3 1.

Второй этап – вычисление значений функции на концах отрезка:

В заключение сравним найденные значения функции:

Таким образом, наибольшего значения данная функция достигает в точке x 1, при этом f ( 1) 5. Наименьшее значение функция принимает в точ-

87

СПБГУАП группа 4736 Контакты https://new.guap.ru/i03/contacts

Между значениями 0 и a/2 производная V (x) обращается в нуль в единственной точке х = a/6. Вторая производная

V (x) 2(a 6x) 6(a 2x) 8a 24x

и при х = a/6:

a

V 4a 0 .6

Следовательно, функция V(x) в точке х = a/6 имеет максимум. Это един-

коробки, полученной при вырезании по углам квадратов со стороной х = a/6.

6.2.5. Выпуклость и точки перегиба

Понятие выпуклости кривой может быть введено несколькими способами. Можно показать, что определения 1-3 эквивалентны.

Определение 1. График функции у = f(x), называется выпуклым вверх или просто выпуклым на промежутке Х, если любая дуга этого графика с концами в точках, принадлежащих данному промежутку, расположена не ниже

СПБГУАП группа 4736 Контакты https://new.guap.ru/i03/contacts

(выпуклым вниз) на промежутке Х, если он целиком лежит под касательной (над касательной), проведенной к нему в любой точке этого промежутка

(рис.6.12).

Если график функции у = f(x) выпуклый вверх на промежутке Х (рис.6.12, а), то y dy, x X .Если график функции у = f(x) – выпуклый вниз на промежутке Х (рис.6.12, б), то y dy, x X (в обоих этих случаях x x X ). Учитывая, что y f(x x) f(x), а dy f (x) x , определение 2 можно записать в несколько иной форме.

Определение 3. График дифференцируемой функции у = f(x) называется

Теорема 1 (достаточное условие выпуклости графика функции). Пусть функция у = f(x) дважды дифференцируема на промежутке Х. Если f (x) < 0 для любого x X , то график функции на Х выпуклый вверх, если же f (x) > 0 для любого x X , то график выпуклый вниз.

Доказательство. Пусть точка x X и x x X . Выпишем формулу Тейлора (6.16)при n = 1, полагаяв ней вместоa и x соответственно x и x x:

f (x x) f (x) f (x) x f (c)( x)2

Отсюда следует, что если f x 0, x X , то правая часть последнего равенства отрицательна, и приходим к условию (6.32), означающему выпуклость вверх графика функции у = f(x) на X; если же f (x) > 0, x X , то пра-

89

СПБГУАП группа 4736 Контакты https://new.guap.ru/i03/contacts

вая часть последнего равенства положи-

выпуклости вниз графика функции у = f(x) называется точкой перегиба этой функции (или графика функции).

Геометрически это означает, что кривая лежит над касательной с одной стороны от точки перегиба и под касательной с другой стороны (рис.6.13).

В частности, на рис.6.13 левее точки перегиба x0 x x0 график является

имеет противоположные знаки для любых двух точек x, достаточно близких к точке x0, но лежащих по разные стороны от нее. Таким образом, можно дать другое определение точки перегиба.

Определение 4. Точка x0 называется точкой перегиба графика дифференцируемой функции у = f(x), если для достаточно малых по значению x выражение

меняет свой знак одновременно с изменением знака x.

Теорема 2. Если производная f (x) имеет в точке x0 экстремум, то эта точка для функции f(x) будет точкой перегиба.

Доказательство. Преобразуем выражение (6.34) с помощью формулы конечных приращений Лагранжа:

f x0 x f x0 f x0 x f x0 x x f x0 x

f x0 x f x0 x, 0 1.

Если производная f (x) имеет в точке x0 экстремум, то разность в скобках для достаточно малых значений x сохраняет знак при перемене знакаx. Но тогда выражение (6.34) изменяет свой знак при перемене знака x. Отсюда следует, что х0 является точкой перегиба функции f(x), что и требовалось доказать.

Если f x0 max f x , то при переходе через x0 производная функции

f (x), т.е. f (x), меняет знак с плюса на минус, в силу чего до точки x0 график у = f(x) выпуклый вниз, а после этой точки выпуклый вверх. Если же

90

СПБГУАП группа 4736 Контакты https://new.guap.ru/i03/contacts

f x0 min f x , то при переходе через x0 производная f (x) изменяет знак с минуса на плюс, в силу чего до точки x0 график у = f(x) выпуклый вверх, а после этой точки выпуклый вниз.

Таким образом, для отыскания точек перегиба функции f(x) нужно решить экстремальную задачу (задачу на отыскание экстремума) для функцииx f x : если x0 точка максимума производной f (x), то для функции f(x) эта точка будет точкой перегиба, в которой выпуклость вниз переходит в выпуклость вверх, если же x0 точка минимума производной f (x), то для функции f(x) это будет точка перегиба, в которой выпуклость вверх сменяется выпуклостью вниз.

Замечание. Данная теорема дает достаточное, но не необходимое условие существования точки перегиба функции f(x). Это значит, что точка может быть точкой перегиба функции f(x) в случае, когда она не является экстремальной точкой для производной f (x). Поэтому, отыскивая точки перегиба непрерывной функции f(x), нужно исследовать те точки, в которых f (x) = ∞ или f (x) не существует.

Пример 6.14. Исследовать характер выпуклости графика функции

y f (x) ln(x 3) 2x.

Решение. Данная функция определена при x > 3. Ее первая производная

производная нигде не обращается в нуль. При x = 3 вторая производная обращается в бесконечность, но функция в точке x = 3 не определена. Таким образом, точек перегиба у функции f x ln x 3 2x нет. Так как во всей

области определения функции выполняется неравенство f x 0, то на промежутке 3, график функции выпуклый вверх.

Пример 6.15. Исследовать характер выпуклости и найти точки перегиба графика функции f (x) x 2arctgx .

Решение. Данная функция определена на всей числовой оси. Найдем ее

Вторая производная определена на всей числовой оси и нигде не обращается в бесконечность. Уравнение f (x) 0 или 4х/(1 + х2)2 = 0 имеет единствен-

ное решение: x = 0. При этом левее точки x = 0 (при x < 0) имеем f (x) 0, т.е. график функции обращен выпуклостью вверх. Правее точки x = 0 (при x > 0) график функции обращен выпуклостью вниз, так как f (x) 0. Следовательно, точка x = 0 является точкой перегиба.

91