Материал: Ялцев Практикум по физической кристаллографии 2011
cos ψ |
−sin ψ |
0 |
|
Rz′(ψ) = sin ψ |
cos ψ |
0 |
. |
|
0 |
1 |
|
0 |
|
Матрица поворота R(φ, θ, ψ) обычно записывается в неподвижной системе координат xyz, причем если ее выражать через матрицы Rz(φ), RX′(θ) и RZ′(ψ), то порядок их перемножения обратен по-
рядку выполняемых поворотов, т.е. R(φ, θ, ψ) = RZ(φ) RX′(θ) RZ′(ψ), так что
R(ϕ,θ,ψ) =
cos ϕ cosψ−cos θ sinϕsinψ |
−cosϕ sinψ−cos θ sinϕ cosψ |
sinθ sinϕ |
||
= sin ϕ cosψ+cosθ cos ϕ sinψ |
−sinϕ sinψ+cos θ cosϕ cosψ |
−sinθ cosϕ .(2.7) |
||
|
sinθ sinψ |
sinθcosψ |
cosθ |
|
|
|
|||
Углы φ и ψ изменяются от 0 до 2π, а угол θ − от 0 до π. Эйлеровские углы поворота часто используются в физике твер-
дого тела, в кристаллографии интересуются кристаллографическими индексами оси поворота и значением угла поворота.
В результате поворота, определяемого матрицей A, произвольный
вектор r переходит в r′, что вматричном виде записываетсякак |
|
|||||||
т.е. |
|
r′ = Ar, |
|
|
|
|
(2.8) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r′ |
a |
a |
a |
r |
|
|
|
|
1 |
|
11 |
12 |
13 |
1 |
|
, |
(2.9) |
r2′ |
|
= a21 |
a22 |
a23 |
r2 |
|
||
|
|
|
a32 |
|
|
|
|
|
r3′ |
|
a31 |
a33 r3 |
|
|
|
||
где aij − элементы матрицы A, (r1, r2, r3) − компоненты вектора r,
(r′1, r′2, r′3) − компоненты вектора r′.
Компоненты матрицы A легко определить исходя из соотношения (2.9). Действительно, направление [100] с координатами (r1, r2, r3) после поворота имеет координаты (r′1, r′2, r′3). Таким образом, матрицу A можно представить состоящей из матриц-столбцов a*1, a*2, a*3, компонентами которых являются координаты векторов
[100], [010], [001] после поворота. |
|
Если матрица A задает операцию в системе координат xyz |
|
r2 = Ar1, |
(2.10) |
то в системе координат x'y'z' эта операция задается матрицей A' r'2 = A'r'1.
31
Переход из системы координат xyz в систему координат x'y'z'
осуществляется матрицей C, т.е. |
r1 = C–1r'1 и r2 = C–1r'2. |
r'1 = Cr1 и r'2 = Cr2, |
Подставляя r1 и r2 в (2.10), получим C–1r'2 = AC–1r'1 или, умножая слева и справа на C, имеем r'2 = CAC–1 r'1. Матрица CAC–1 = A'
осуществляет в системе координат x'y'z' такую же операцию, как и
A в системе xyz. Матрицы A и A', связанные соотношением |
|
A' = CAC–1 |
(2.11) |
или, если D = C–1, A' = D–1AD, называют матрицами подобия. У матриц подобия равны все инварианты, в том числе и линейный инвариант (след матрицы), т.е.
tr A = tr A' = 1 + 2 cos α. |
(2.12) |
Преобразование индексов направлений и плоскостей при изменении системы координат. Произвольное направление [mnp]
задается вектором Rmnp = ma1 + + na2 + pa3 или вектором Rт1т2 т3 =
= m1a1 + m2a2 + m3a3. В матричном виде Rт т |
т → Rm: |
||||||||
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
m |
|
~ |
|
|
|
|
|
|
Rm = (a1 a2 |
1 |
|
|
|
(2.13) |
||
|
|
a3 ) m2 |
|
= am , |
|||||
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
где |
− матрица-строка из базисных |
векторов, а |
m − матрица- |
||||||
a |
|||||||||
столбец из компонентов вектора.
При переходе из системы координат xyz к системе x'y'z' базисные векторы преобразуются как
a′ |
|
|
A a A a A a |
|
|
||
1 |
|
|
11 1 |
12 1 |
13 1 |
|
|
a2′ |
|
= |
A21a2 |
A22a2 |
A23a2 |
|
, т.е. a' = Aa, |
|
|
|
A31a3 |
A32a3 |
A33a3 |
|
|
a3′ |
|
|
|
|
|||
а компоненты вектора R преобразуются как контравариантные
~−1
векторы с помощью матрицы A , называемой матрицей контраградиентного преобразования
m′= |
~ |
|
|
|
(2.14) |
A−1 m. |
|
|
|
||
Скалярное произведение между векторами |
Rт т |
т |
и Hhkl равно |
||
|
|
1 |
2 |
|
3 |
Rт1т2 т3 Hhkl = m1h + m2k + m3 l или в матричной записи
32
m |
|
~ |
1 |
|
|
(h k l) m2 |
= hm . |
|
m3 |
|
|
При изменении системы координат скалярное произведение сохра- |
|||||||||
~ |
= |
~′ ′ |
~ |
~′ ~ |
−1 |
m и |
~ ~′ ~ |
−1 |
, |
няетсяhm |
h m |
и с учетом (2.14) hm = |
h A |
|
h = h A |
|
|||
откуда |
|
|
h' = Ah. |
|
|
|
(2.15) |
||
|
|
|
|
|
|
||||
Следовательно, при изменении системы координат компоненты вектора обратной решетки и базисные векторы преобразуются как ковариантные векторы с помощью матрицы A.
2.3. Основные формулы структурной кристаллографии
Период идентичности. Период идентичности I[mnp] вдоль данного направления [mnp] – расстояние между ближайшими узлами вдоль данной прямой – равен абсолютной величине вектора Rmnp.
Длину вектора |
проще |
вычислить |
через |
скалярное произведение |
||||||||||||||||
I[mnp] = (Rmnp Rmnp)1/2, записанное в матричном виде |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Im m |
m |
= |
~ |
|
|
(2.16) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mGm . |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
3 |
|
|
|
|
||||
|
Квадратичная форма. Длина |
вектора обратной |
решетки |
|||||||||||||||||
|
Hhkl |
|
может быть представлена аналогично как |
|
||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Hhkl |
|
= |
~ |
−1 |
h . |
(2.17) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
hG |
|
||||||
Выражение |
1 |
|
= |
|
Hhkl |
|
|
2 = h~G −1h , которое является функцией па- |
||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
dhkl2 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
раметров решетки a, b, c, α, β, γ, называют квадратичной формой соответствующей сингонии.
Квадратичные формы для некоторых сингоний имеют вид: для кубической сингонии
1 |
= |
h2 +k 2 +l2 |
, |
(2.18) |
|
dhkl2 |
a2 |
||||
|
|
|
для ромбической сингонии
33
|
1 |
|
|
= |
h2 |
+ |
k 2 |
+ |
l2 |
|
, |
|
|
(2.19) |
||
|
|
dhkl2 |
a2 |
b2 |
c2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
для гексагональной сингонии |
|
|
|
+k2 ) |
|
|
|
|
||||||||
1 |
= |
|
4(h2 |
+hk |
+ |
l2 |
. |
(2.20) |
||||||||
|
dhkl2 |
|
|
|
3a2 |
|
|
|
c2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Угол между направлениями. Угол φ между направлениями
[ m(1)m(1)m(1) |
] и [ m(2)m(2)m(2) |
] определяют из соотношения |
|
||||||||||
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
3 |
~ |
(2) |
|
(1) |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
cos φ = |
|
m |
|
Gm |
|
|
, |
(2.21) |
||
|
|
|
~ (1) |
|
(1) |
~ |
(2) (2) |
||||||
|
|
|
|
|
m Gm |
|
m |
Gm |
|
||||
~ (1) |
~ |
(2) |
− матрицы-строки; m |
(1) |
, m |
(2) |
− матрицы-столбцы. |
|
где m |
, m |
|
|
|
||||
Угол |
между |
плоскостями. Угол |
φ между плоскостями |
|||||
( h1(1)h2(1)h3(1) ) и ( h1(2)h2(2)h3(2) ) равен углу между нормалями к этим
плоскостям:
cos φ = |
|
h~(2)G −1h(1) |
|
|
|
. |
(2.22) |
|||
~(1) |
−1 |
h |
(1) |
~(2) |
−1 |
h |
(2) |
|||
|
h G |
|
|
h G |
|
|
|
|
||
Угол между плоскостью и направлением. Угол φ между плос-
костью (h h |
h ) и направлением [ m m |
2 |
m |
3 |
] определяют как |
|
||||
1 |
2 3 |
|
~ 1 |
|
|
|
|
|||
|
sin φ = |
|
hm |
|
|
|
|
. |
(2.23) |
|
|
~ |
−1 |
h |
~ |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
hG |
|
mGm |
|
|
||||
Объем элементарной ячейки. Объем элементарной ячейки, построенной на базисных векторах прямой решетки a1, a2, a3, выражается смешанным произведением
V = a1[a2×a3], (2.24)
или с использованием метрической матрицы прямой решетки
V = detG . |
(2.25) |
Для обратной решетки, построенной на базисных векторах b1, b2, b3, объем элементарной ячейки определяется аналогичными выражениями
V* = b1[b2×b3] = det G −1 . |
(2.26) |
34
Контрольные упражнения и задачи
2.1. Определите кристаллографические индексы направлений, про-
ходящих черезточки [[112 ]] и [[ 011 ]], [[121 ]] и[[½10]].
2.2. Покажите в элементарной ячейке кристаллографические направления [111], [ 2 11 ], [ 312 ].
2.3.Определите кристаллографические индексы плоскостей, отсекающих на осях координат отрезки 1, –1, ∞ и –1, 1, ½.
2.4.Покажите в элементарной ячейке кристаллографические плос-
кости(111), ( 2 11 ), ( 312 ) нарис. 2.1.
2.5.Определите кристаллографические индексы направлений, проходящих в гексагональной ячейке через точки [[100]] и [[011]], [[00½]] и [[110]].
2.6.Покажите в гексагональной ячейке кристаллографические на-
правления[1120 ] и[1010 ].
2.7.Определите кристаллографические индексы плоскостей, отсекающих на осях координат гексагональной ячейки отрезки –½, 1,
1и 1, 1, ∞.
2.8.Покажите в гексагональной ячейке кристаллографические
плоскости (1120 ), (1010 ).
2.9. Вычислите период идентичности I[112] для кристалла алю-
миния с параметром решетки a.
2.10. Вычислите период идентичности I[311] для кристалла хро-
ма с параметром решетки a.
2.11. Вычислите период идентичности I[123]для кристалла нио-
бия с параметром решетки a.
2.12*. Вычислите период идентичности I[2 1 1 0] для гексагонально-
гокристаллас параметрами решетки a и c.
2.13 Покажите на стереографической проекции направления
[112 ], [ 110 ], [123 ].
2.14.Покажите гномостереографическую проекцию зоны плоскостей: ось зоны – [111 ], плоскости зоны – ( 211), ( 110 ), ( 1 1 2 ).
2.15.Вычислите угол между направлениями [110 ] и [011 ] кубическогокристалла.
35