Материал: Ялцев Практикум по физической кристаллографии 2011

Нетрудно убедиться, что ось 3 (α = 120°) эквивалентна осям 3 и 1 . Ось 6 эквивалентна осям 3 и 2 . Ось 4 – независимая и содержит поворотную ось второго порядка 2.

Среди инверсионных осей независимыми являются 1, 2, 4 , а оси 3 и 6 составными: 3 = 3 +1 и 6 = 3 + 2 .

3.3. Зеркально-поворотные оси

Инверсионные оси – это комбинация центра инверсии и поворотных осей, но несобственное вращение может быть получено

Матрица, соответствующая зеркально-поворотной оси вдоль оси x, имеет вид

Определитель этой матрицы det Rm = −1, а след матрицы зеркаль- но-поворотного преобразования равен

tr Rm = −1 + 2 cos α. (3.5)

Важной характеристикой направлений в кристаллах является полярность. Вдоль любой прямой можно двигаться в противоположные стороны. Если эти два направления равноценны, то прямая неполярна и преобразуется в себя какой-либо операцией, меняющей местами (совмещающей) ее противоположные «концы», например плоскостью симметрии, перпендикулярной этой прямой или лежащей на ней центром симметрии. Так, инверсионные оси всегда неполярны, поворотные оси полярны, если они не пересе-

каются с элементами симметрии 1 , m, 2. Полярности направлений в кристаллах соответствует полярность физических свойств.

41

3.4. Точечные группы симметрии

Точечной называется группа операций симметрии, оставляющих неподвижной одну точку.

При рассмотрении симметрии кристаллического пространства

точечные группы (или кристаллические классы) являются комби-

нацией закрытых элементов симметрии, причем точечные группы (кристаллические классы) первого рода связаны с комбинацией поворотных осей. Учитывая наличие циклических групп C1, C2, C3, C4, C6, связанных с поворотными осями 1, 2, 3, 4, 6, и возможные комбинации поворотных осей 222, 32, 422, 622, 23, 432, получаем 11 точечных групп с поворотными осями симметрии.

На рис. 3.3 показаны стереографические проекции элементов симметрии кристаллографических групп 222 и 422.

Рис. 3.3. Стереографические проекции элементов симметрии групп:

а – 222 (D2); б – 422 (D4)

Группа 222 содержит три оси второго порядка L2. Группа 422 содержит ось четвертого порядка L4 и четыре оси второго порядка

L2.

Группа 23 − группа тетраэдра T – имеет четыре оси третьего порядка L3 и три оси второго порядка L2.

Группа 432 − группа октаэдра O – имеет четыре оси третьего порядка L3, три оси четвертого порядка L4 и шесть осей второго порядка L2.

Рассматривая комбинации поворотных и инверсионных осей, получим еще 21 точечную группу (группы второго рода); таким образом, возможно существование 32 точечных групп.

42

Стереографические проекции элементов симметрии для групп 23 (T), 432 (O) и m 3 m (Oh) приведены на рис. 3.4, а для групп m 3

(Th) и 4 3m (Td) – на рис. 3.5.

Рис. 3.4. Стереографические проекции элементов симметрии групп:

а – 23 (T); б – 432 (O); в – m 3 m (Oh)

аб

Рис. 3.5. Стереографические проекции элементов симметрии групп:

а – m 3 (Th); б – 4 3m (Td)

Наличие или отсутствие центра симметрии. В классах с цен-

тром симметрии не может быть полярных направлений, а значит, не может быть и физических свойств, характеризуемых полярной симметрией (пироэлектричество, пьезоэлектричество).

В дифракционных методах исследования особенно выделяют классы симметрии, содержащие центр симметрии, их называют

лауэвскими: m 3 m, m 3 , 6/mmm, 6/m, 4/mmm, 4/m, 3 m, 3 , mmm,

2/m, 1 . Таким образом, существует 11 лауэвских классов.

43

3.5. Предельные группы симметрии

Для конечных физических систем, наряду с кристаллографическими группами, большое значение имеют группы, содержащие оси симметрии бесконечного порядка. Такая симметрия характерна для физических полей, тел вращения и некоторых физических свойств кристаллов.

Предельными группами симметрии, или группами Кюри, назы-

ваются точечные группы симметрии, содержащие оси симметрии, бесконечного порядка. Кюри показал, что имеется семь предельных точечных групп.

1. Группа симметрии равномерно вращающегося кругового конуса с международным символом ∞. Группа полярна и энантиоморфна, потому что конус может вращаться вправо и влево.

2. Группа симметрии покоящегося кругового конуса ∞m. Группа полярна, но не энантиоморфна, потому что энантиоморфными называются фигуры, которые можно совместить друг с другом только путем зеркального отражения. Такова симметрия однородного электрического поля: вектор его напряженности E является поляр-

ным, т.е. группа ∞m − группа симметрии полярного вектора.

Группа содержит ось симметрии бесконечного порядка и бесконечное число продольных плоскостей симметрии.

3. Группа симметрии вращающегося цилиндра ∞/m. Группа содержит ось симметрии бесконечного порядка, поперечную плоскость симметрии и центр симметрии. Ось симметрии не полярна, поскольку оба ее конца можно совместить друг с другом путем отражения в поперечной плоскости симметрии.

Цилиндр, вращающийся вправо, можно совместить с цилиндром, вращающимся влево, отражая его в имеющемся центре симметрии или просто перевернув и наложив один на другой, без отражения. Поэтому в этой группе нет энантиоморфных форм.

Симметрией ∞/m обладает поле постоянного магнита, вектор напряженности которого H является аксиальным, т.е.

группа ∞/m − группа симметрии аксиального вектора.

4. Группа симметрии ∞2 цилиндра, концы которого закручены в разные стороны. Группа содержит ось симметрии бесконечного

44

порядка и бесконечное число поперечных осей 2. Такая симметрия характерна для удельного вращения плоскости поляризации в анизотропной среде.

5. Группа симметрии покоящегося цилиндра ∞/mmm. Группа содержит ось симметрии бесконечного порядка, одну поперечную и бесконечное множество продольных плоскостей симметрии, бесконечное множество поперечных осей 2 и центр симметрии.

Такова симметрия однородного поля одноосных сжимающих или растягивающих механических напряжений.

6. Группа ∞/∞ симметрии своеобразного шара, у которого все диаметры закручены по правому или левому винту соответственно правой или левой энантиоморфной формам. Группа содержит бесконечное множество осей бесконечного порядка без плоскостей симметрии и центра симметрии.

Такова симметрия удельного вращения плоскости поляризации

визотропной среде. Поскольку группа содержит только поворотные оси, ее называют иногда группой вращения.

7. Группа симметрии ∞/∞m описывает симметрию обычного шара, имеет центр симметрии и бесконечное множество осей бесконечного порядка и плоскостей симметрии. Это – симметрия таких скалярных воздействий, как гидростатическое сжатие или однородный нагрев.

Поскольку эта группа содержит все точечные операции в трехмерном пространстве или, другими словами, все движения, относительно которых инвариантна сфера или однородный шар, ее часто называют ортогональной.

Понятие предельных групп оказывается чрезвычайно полезным

вкристаллофизике.

Стереографические проекции элементов симметрии для предельных групп симметрии полярного вектора, аксиального вектора и однородного поля одноосных сжимающих или растягивающих механических напряжений приведены на рис. 3.6.

45