Материал: 1291
~ 16 ~
Малюгин П.Н. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДОРОЖНОГО ДВИЖЕНИЯ: учебное пособие
___________________________________________________________________________
В экспоненциальных распределениях используется область изменения переменной x < 0. Запишем некоторые значения функции:
e–1 = 0,37; 1 – e–1 = 0,63.
Функция ex широко применяется в математике. Например, решения дифференциальных уравнения описываются комбинациями экспонент от комплексных переменных. При этом константы в степенях экспонент играют роль постоянных времени.
3.2. Формула нормального закона
Нормальный закон распределения случайной величины xвыражается формулой
−( x − x )2 |
|
с |
|
p(x) = e 2 σ2 /(σ 2 π ), |
(3.1) |
где xс – среднее значение случайной величины; π = 3,14;
σ – среднее квадратичное отклонение величины x от среднего значения xс (дисперсия);
p(x) – вероятность расположения величины x в диапазоне от x –
0,5 до x + 0,5.
Заметим, что в формуле (3.1) случайная величина изменяется в диапазоне от минус ∞ до плюс ∞.
3.3. Формула нормального закона распределения скоростей
При рассмотрении ТП скорость V одного автомобиля является случайной величиной. Среднее значение случайной величины равно средней скорости автомобилей Vс и равно скорости ТП:
p(V) = ey / (σ √(2π)), y = – (V – Vс)2 / (2 σ2). |
(3.2) |
В формулу подставляют скорость в км/ч. Среднее квадратичное отклонение тоже имеет размерность – км/ч.
~ 17 ~
Глава 3. НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
_____________________________________________________________________________
Форма распределения задается двумя параметрами нормального закона Vс и σ. На рис. 3.2 приведены графики функций p(V) для различ-
ных значений σ при одном значении Vс = 50.
График распределения симметричен относительно среднего значения скорости. При малом значении σ график имеет явно выраженный
экстремум. При увеличении σ максимум функции снижается и график растягивается по скорости.
3.4. Определение параметров закона Гаусса по его графику
Располагая экспериментальным графиком или гистограммой можно ориентировочно найти среднюю скорость и среднее квадратичное отклонение (рис. 3.3). Среднее значение скорости соответствует максимуму функции. Для расчета среднего квадратичного отклонения на графике находят значение максимума Fmax и вычисляют 0,61 Fmax. Затем проводят горизонтальную линию. Расстояние между точками пе-
ресечения этой линии с кривой слева и справа равно 2 σ.
Рис. 3.2. Функции нормального распределения скоростей:
1 – σ = 5; 2 – σ = 7,5; 3 – σ = 10; 4 – σ = 12,5 км/ч
~ 18 ~
Малюгин П.Н. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДОРОЖНОГО ДВИЖЕНИЯ: учебное пособие
___________________________________________________________________________
Рис. 3.3. Определение отклонения σ по графику функции
3.5. Накопленная вероятность
Интеграл от функции p(V) по скорости от V = 0 до заданного значения скорости Vз описывает функцию, значение которой равно накопленной вероятности pн(V). Накопленная вероятность отражает вероятности события, что скорость для некоторого автомобиля будет меньше величины Vз. Очевидно следующее: если для всех автомобилей скорость больше Vз, то вероятность pн(V) равна 0; если для всех автомобилей скорость меньше Vз, то вероятность pн(V) равна 1. График накопленной вероятности для функций, приведенных на рис. 3.3, отражен на рис. 3.4, где кривые пронумерованы в прежнем порядке.
Рис. 3.4. График накопленной вероятности
Формулу интеграла от функции p(V) невозможно выразить через элементарные функции. Поэтому функцию накопленной вероятности вычисляют численным интегрированием функции p(V).
~ 19 ~
_____________________________________________________________________________
Глава 4. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИЗМЕРЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Фактические данные о распределении скоростей автомобилей или интервалов между ними можно получить лишь экспериментальным путем. Рассмотрим измерение параметров распределения на примере измерения скоростей и обработку получаемых результатов.
Методики измерений и обработки результатов подробно изложены в указаниях [7].
4.1. Методика измерения
Для измерения скоростей обычно применяют радары. Они позволяют замерить скорость одиночного автомобиля и автомобиля, движущегося в группе. Погрешность измерения скорости радаром не превышает 1 км/ч. Скорость можно измерять на расстоянии до 300 м. Наименьшее значение скорости обычно ограничено величиной 20 км/ч, наибольшее значение составляет 200 км/ч.
При измерении параметров распределения скоростей обычно используют метод стационарных наблюдений, по которому выполняют следующие пункты:
1. Выбирают сечение дороги. Сечение выбирают в том месте д о- роги, где движение потока устанавливается.
2. Выбирают число замеров N. Обычно число замеров принимают 100. Если требуется получить высокую точность измерений, то число замеров увеличивают.
3. Обеспечивают случайный порядок измерений. Для этого автомобили выбирают таким образом, чтобы они контролировались в случайном порядке.
4. Подготавливают сводку наблюдений.
Сводка наблюдений представляет собой таблицу, имеющую три столбца. В первый столбец записывают порядковые номера автомобиля, начиная с первого, а во второй столбец – скорость его движения. При обработке результатов измерений в третий столбец записывают номер диапазона, в котором располагается скорость автомобиля.
5. Порядок измерения:
1)измеряют скорость автомобиля;
2)заносят результат измерения в сводку наблюдений;
~ 20 ~
Малюгин П.Н. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДОРОЖНОГО ДВИЖЕНИЯ: учебное пособие
___________________________________________________________________________
3) повторяют пункты 1 и 2 до достижения заданного числа заме-
ров.
Сводку наблюдений обычно обрабатывают вручную. При обработке сводки применяют специальные параметры и термины, позволяющие формализовать обработку и уменьшить объем вычислений.
4.2. Разбиение диапазона скоростей на интервалы
Диапазон скоростей разбивают на интервалы, выполняя предварительную обработку сводки наблюдений [7].
Находят фактический диапазон изменения скоростей, используя минимальное и максимальное значение Vi. Диапазон изменения скоростей Vi разбивают на интервалы VНj … VКj, где VНj и VКj – скорость в на-
чале и конце интервала. Длину интервала ∆Vj = VКj – VНj |
обычно прини- |
|
мают от 5 до 20 км/ч, и таким образом зада |
ют число |
n интервалов: |
n = 7 … 15, j =1, 2, … n. Вычисляют средние скорости на интервалах
VСj = (VНj + VКj) / 2.
Например: 0-40, 40-50, 50-60, 60-70, 70-80, 80-90, 90-100 и более
100 км/час. К первому интервалу относят все автомбиля, скорость которых меньше 40 км/ч, ко второму – от 40 до 50 км/ч, так далее. К последнему интервалу относят автомобили, скорость которых больше или равна 100 км/ч. Получают 8 интервалов, которые указывают в первом столбце табл. 4.1. Во втором столбце указывают начало и конец интервала. В третьем столбце табл. 4.1 указывают средние скорости на интервалах. В четвертом столбце указывают длины интервалов.
Для повышения точности измерений нет смысла применять малые величины интервалов, так как тогда для обработки придется выполнять большое число замеров.
Находят частоты Aj, которые равны числу автомобилей, скорость которых располагается в каждом интервале. Частоты записывают в пятый столбец табл. 4.1. Для контроля подсчитывают сумму частот в столбце: она равна числу замеров N.
Частость равна отношению частоты к числу замеров N: aj = Aj / N. Частость соответствует вероятности события: скорость движущегося в
потоке автомобиля располагается в интервале ∆Vj. Вычисляют частости и заполняют шестой столбец табл. 4.1. Контролируют сумму частостей: она равна единице.
Вычисляют суммы sj частостей на предыдущих интервалах: