Материал: 1715

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

функции f (x) и обозначается ∫ f (x)dx , а операция нахождения

неопределенного интеграла от функции называется интегрированием. Таким образом, по определению,

∫ f (x)dx = F(x) + C ,

где f (x) − подынтегральная функция; f (x)dx − подынтегральное выражение; x − переменная интегрирования; ∫ − знак

неопределенного интеграла.

Неопределенный интеграл иногда называют первообразной функцией, воспринимая этот термин как обратный к понятию «производная»: речь идет о той функции, от которой берется (уже известная нам) производная. Заметим, что слово «интеграл»

образовано от лат. «integer» − «целый», а знак ∫ («интеграл») происходит от латинской буквы S, первой буквы слова «сумма»: он

получился растягиванием буквы S в вертикальном направлении. Каким образом интеграл связан с понятием «суммы», мы рассмотрим ниже.

								И
		Основные свойства неопределенного интеграла:
1.	(∫ f (x)dx)′ = (F(x) + C)′ = f (x) .
	d(∫ f (x)dx) = f (x)dx .						Д
2.	d(∫ f (x)dx) = f (x)dx .			А
3.	∫ dF(x) = F(x) + C .			А
4.	∫ C f (x)dx = C ∫ fб(x)dx .
5.	∫	[f (x)± g(x)]dx = f (x)dx ±				∫	g(x)dx.
	∫	и∫				∫
6.	Если ∫ f (x)dx = F(x) + C и u = ϕ(x) , то ∫ f (u)du = F(u) + C .
		С	+ b)dx =		1	F(ax + b)+ C , где a ≠ 0 .
В частности, ∫ f (ax			+ b)dx =		a	F(ax + b)+ C , где a ≠ 0 .
					a

Нахождение значения неопределенного интеграла связано главным образом с нахождением первообразной функции. Для удобства значения неопределенных интегралов большинства элементарных функций собраны в специальные таблицы интегралов, которые бывают иногда весьма объемными. В них включены различные наиболее часто встречающиеся комбинации функций. Но большинство представленных в этих таблицах формул являются следствиями друг друга, поэтому ниже мы приведем таблицу

основных интегралов, с помощью которой можно получить значения неопределенных интегралов от различных функций.

Таблица основных неопределенных интегралов

№

Неопределенный интеграл

Значение неопределенного интеграла

п/п

∫ 0dx

С, С − константа

∫ adx , а - константа

ax + C

∫ x

dx,n

≠ −

xn+1

n +1 + C

∫

+ C

∫ a dx

ln a + C

∫ exdx

+ C

∫sin xdx

−cos x + C

∫ cos xdx

sin x + C

∫ tgxdx

−ln

cos x

+ C

∫ ctgxdx

sin x

+ C

tgx + C

∫ cos2 x

−ctgx + C

∫ sin2 x

∫

+ C

cos x

∫

+ C

sin x

∫

1 arctg

+ C

x2 + a2

∫

x − a

+ C

x2 − a2

x + a

∫

arcsin

+ C

a2 − x2

∫

x + x2 ± a

+ C

x2 ± a

нами

будут

рассмотрены

основные

приемы

интегрирования.

1.2. Непосредственное интегрирование

Метод непосредственного интегрирования – метод, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции (подынтегрального выражения) и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам.

Примеры решения задач

Проинтегрировать:

x2dx

3x3 − 5x 3

+ 4x −

∫

dx ;

∫

;

3) ∫ (1− 3

)

dx ;

x2 + 4

4) ∫ ctg2 xdx ; 5) ∫ cos3 x d cos x .

Решение:

1) Разделим почленно

числитель

на

знаменатель; в

результате подынтегральная функция раскладывается на слагаемые,

каждое из которых проинтегрируем:

−

x +

4x −

∫

− 5

+ 4

−

x x

3/ 2

− 5x

−1/ 6

−1/ 2

−

3∫ x

3/ 2

− 5∫ x

−1/ 6

dx + 4∫ x

−1/ 2

dx −

∫

dx =

−

∫

dx =

x3/ 2+1

− 5

x−1/ 6+1

+ 4

x−1/ 2+1

− ln

+ C

5/ 2

−

5/ 6

3/ 2

−1/ 6б+1 −1/ 2 +1

1/ 2

+ 8x

+ C =

− ln

x − 6

+ 8 x − ln

+ C.

2) Прибавляя и вычитая в числителе подынтегральной функции

число 4, получим

x2dx

x2 + 4 − 4

∫

= ∫

1−

dx = ∫ dx − 4∫

+ 4

2 + 4

x2 +

= x − 4

1 arctg

+ C = x − 2 arctg

+ C .

3) Возведём в квадрат подынтегральную функцию и проинтегри-

руем каждое слагаемое, имеем

∫ (1− 3x )2 dx = ∫ (1− 2 3x + 9x )dx = ∫ dx − 2∫ 3x dx + ∫ 9x dx = x −

+ C .

ln 3

ln 9

4) Здесь следует воспользоваться тригонометрической формулой

1+ ctg2 x =

Откуда получаем

sin

∫ ctg2 xdx = ∫

− 1 dx =

∫

− ∫ dx = −ctgx − x + C .

sin

2 x

sin2

5) Воспользуемся свойством 6 неопределённого интеграла, где

u = cos x , имеем

(cos x)3+1

+ C = cos4 x

∫ cos3 x d cos x =

+ C .

3 +1

Задачи для самостоятельной работы

Применяя основные правила и формулы интегрирования, найти

следующие интегралы:

dx .

dx5 .

1. ∫ 6x4dx .

∫

3. ∫

4. ∫ (x − 4x + 2x)dx .

5. ∫ (x −1)(x + 4)dx .

6. ∫

1− 6x +

4xД

(4 − 3 x )

7. ∫ 3 x2 (83 x −1)dx .

∫

9. ∫

dx .

10. ∫ 7

dx .

11. ∫

dx .

12. ∫

−1)(5

− x

+1)dx .

32А− 2

sin x

−

4cos

xdx .

13. ∫

dx .

14.

∫

−

dx .

15.

∫

sin2 x

иcos2 x

cos2 x

16. ∫ (ctgx − tgx)2 dx .

17. ∫

18.

∫

9 − x2

x2 +16

4 − x2

−

2 − x2

dx .

20. ∫

19. ∫

21.

∫

dx .

x2 + 4

16 − x4

2 − x2

22. ∫ 5

23. ∫ etgx d tgx .

24. ∫

d sin x

ln xd ln x .

1− sin2 x

1.3. Интегрирование способом подстановки

Во многих случаях удается введением новой переменной свести данный интеграл ∫ f (x)dx к новому интегралу, который может быть

вычислен непосредственно или легко вычисляется другим способом. Замена переменной в неопределённом интеграле производится с

помощью подстановок двух типов:

1) x = ϕ(t), где t − новая переменная; ϕ(t) − непрерывно дифференцируемая функция. В этом случае формула замены

переменной имеет вид

∫ f (x)dx =

′

∫ f (ϕ(t))ϕ (t)dt .

Функцию ϕ(t) стараются выбрать таким образом, чтобы правая

часть формулы приобрела более удобный для интегрирования вид.

2) t =ψ (x),

где t

− новая переменная. Тогда формула замены

переменной приобретает вид

′

(t)dt .

∫ f (ψ (x))ψ (x)dx = ∫ f

Такого рода преобразование

называют

подведением

под знак

дифференциала.

Примеры решения задач

Проинтегрировать:

1) ∫ sin 2xdx ;

2) ∫

dx ;

3) ∫

xdx

;

∫

exdx

;

5x − 3

9 + e2x

cos 3

иdx

1+ x4

dx ; 6)

5) ∫ 3

∫

1+ x2

Решение: 1) Данный интеграл окажется табличным, если под

знаком дифференциала будет стоять аргумент 2x подынтегральной функции sin 2x . Так как d(2x)= 2dx , то

∫sin 2xdx = 12 ∫ sin 2xd(2x) = − 12 cos 2x + C .

2)Так как d(5x − 3) = 5dx , то

∫5x − 3dx = 1 ∫ (5x − 3)1/ 2 d(5x − 3) = 2(5x − 3)3/ 2 + C . 5 15

3)Замечаем, что (x2 )= 2xdx . Тогдаd

Источник: https://studfile.net/preview/16407772/

Смотрите также:

17. Введение 18. Линейные программы 19. Ветвления 20. Программирование циклических алгоритмов
2 электрическим током
Развитие оборота предприятия торговли и оценка эффективности его хозяйственной деятельности
_-___-~1
_04_Mериме
_3 тема - Диффузия
_Роджерс Карл, Брак и его альтернативы
- Описание типа СЭТ7009
- Программа ГПИ
'Заповит' Рейнгольда Глиэра: стилистические особенности