Материал: 1715

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Следовательно,

∫	(3x + 5)dx	= ∫	(3x + 5)dx
	x2 + 2x +10		(x +1)2 + 9

t= x +1

=x = t −1 = ∫ 3(t −1) + 5 dt = ∫ 3t + 2 dt = dx = dt t2 + 9 t2 + 9

= 3∫

tdt

+ 2∫

∫

d(t2 + 9)

+ 2∫

3 ln(t2

+ 9) +

t2 + 9

+23 arctg 3t + C == 23 ln(x2 + 2x +10) + 23 arctg x 3+1 + C .

3)Выделяя полный квадрат из квадратного трёхчлена, имеем

3 − x − 2x

= −2 x

−

= −2 x

+ 2

x +

−

= −2

x +

= 2

x +

Отсюда получаем

d x +

∫

= ∫

∫

3 − x − 2x2

1 2

−

x +

А1

4x +1

1/ 4

+ C

+ C .

arcsin

5/ 4

arcsin

4) Прежде всего, выдел м полный квадрат из квадратного

трёхчлена

x2 + 4x + 5 = x2 + 2 2x + 4 − 4 + 5 = (x + 2)2 +1.

Таким образом,

t = x + 2

tdt

∫

xdx

= ∫

xdx

x = t − 2

= ∫

t − 2

dt = ∫

−

x2 + 4x + 5

t2 +1

(x + 2)2 +1

dx = dt

∫ d(

t2 +1

)

− 2∫

− 2ln

t +

t2 +1

+ C =

t2 +1

= x2 + 4x + 5 − 2ln x + 2 + x2 + 4x + 5 + C .

Задачи для самостоятельной работы

Проинтегрировать:

74.	∫		dx				.	75.	∫
74.	∫	x2 +10x +		34			.	75.	∫
		x2 +10x +		34
76.	∫		dx		.			77.	∫
76.	∫	2x2 + 2x +		5	.			77.	∫
		2x2 + 2x +		5
78.	∫		dx			.		79.	∫

			5 + 4x − x2
			5 + 4x − x2
80.	∫	(x − 4)dx		.				81.	∫
80.	∫	x2 + x −12		.				81.	∫
		x2 + x −12

dx 2 . 6x − 9x −1

xdxx2 .

−2

dx .

x2 +10x + 28

(26x −1)dx . x − 4x +13

82. ∫

3x − 5

dx .

83. ∫

7 − x

dx .

+ 6x + 20

+ 2x − x2

1.6. Интегрирование рациональных дробей

1. Простейшие дроби и их интегрированиеИ.

Определение. Дробно-рациональной

функцией (рациональной

многочлены степеней n и m соответственно, называется правильной, если n < m . Если n ≥ m , то дробь неправильная.

дробью) называется функция, равная отношению двух многочленов,

Pn (x)

P (x),

(x)

т.е. f (x) =

где

− многочлены степеней

n и

Qm (x)

соответственно.

Pn (x)

Определение.

Pn (x),

Qm (x)

Рац

ональная дробь

, где

−

Qm (x)

Простейшими рациональными дробями называются дроби,

приводящиеся к следующим типам:


		A
I.			.
	(x − a)
II.		A		, n ≠ 1.
		(x − a)n
		M x + N
III.		(x2 + px + q).

IV.	M x + N	,	n ≠ 1,	x2 + px + q = 0 − не имеет действитель-
	(x2 + px + q)n

ных корней.

Простейшие дроби интегрируются следующим образом:

∫

dx = A∫

d(x − a)

=Aln

x − a

+ C ;

x − a

−n

∫

dx = A∫ (x − a)

d(x

− a) = −

+ C .

(x − a)n

n −1

(x − a)n−1

Интегрирование простейшей дроби III типа было рассмотрено

в подр. 1.4.

Для интегрирования простейшей дроби IV типа выделить полный

квадрат

из

квадратного

трёхчлена

в знаменателе

дроби,

т.е.

p 2

+ px + q = x +

+ q −

. Сделать

подстановку

t = x +

разложить полученный интеграл на сумму двух интегралов: первый

интеграл интегрируется непосредственно, второй интеграл − с помощью рекуррентной формулы

Д+ (2n

− 3)∫

. (1.2)

∫

2(n −1)k 2

+ k

2 n−1

+ k

n−1

)

2. Разложен е

прав льной рациональной дроби на сумму

простейших дробей.

Pn (x)

Любая правильная рациональная дробь

Qm (x)

может быть единственным образом представлена в виде суммы простейших рациональных дробей. Если знаменатель записать в виде произведения неповторяющихся линейных и квадратных множителей

Q (x)= (x − a )k1 ...

(x − a

)kn (x2

+ p x + q )r ,

где k1,k2 ,...,kn ,r

− натуральные

числа,

то

эту дробь можно

представить в виде следующей суммы простейших дробей:

P (x)

B x

+ C

x + C

+ ... +

. (1.3)

Qm (x)

(x − a1)

(x − a1)k1

(x2 + p1x + q1)

(x2 + p1x + q1)r

Коэффициенты A1, A2 ,..., B1,C1,..., Br ,Cr в разложении находятся с

помощью метода неопределённых коэффициентов. Для этого обе части равенства (1.3) приводят к общему знаменателю, а затем приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях x (первый

способ). Не раскрывая скобок, дать аргументу x столько различных значений, сколько имеется неопределённых коэффициентов (второй способ).

Интегрирование

неправильных

рациональных

дробей. Для

нахождения интеграла от неправильной рациональной дроби

Pn (x)

Qm (x)

следует выделить из неё целую часть, т.е. представить в виде

Pn (x)

= L(x)+

r(x)

Qm (x)

где L(x) − многочлен (целая часть при делении); r(x) − остаток от

деления.

Примеры решения задач

Проинтегрировать: 1)

∫

(5 − 4x)dx

;

∫

(x2 + 6)dx

;

(x +1)(x

x(x −

3)2

− 2)

(x2 − 5x + 9)dx

(x3 + x)dx

− 3x2 − 5x2 + 30x − 22

3) ∫

2 2

; 4) ∫

; 5)И∫ 3 2

dx .

(x −1) (x + 2x + 2)

x − x − 8x +12

+ 2)

Решение: 1)

Представим подынтегральную функцию в виде

суммы простейших дробей, т.е.

5 − 4x

x +1

x − 2

(x +

1)(x − 2)

Приводя дроби в правой части равенства к общему знаменателю

и приравнивая после этого ч слители правой и левой частей, получим

5 − 4x = A(x − 2) + B(x +1).

Полагая в полученном тождестве x = 2, имеем

5 − 4 2 = 3B B = −1.

Полагая x = −1, имеем 5 − 4 (−1) = −3A

A = −3.

Таким образом, искомый интеграл

∫

(5 − 4x)dx

= −3∫

− ∫

= −3ln

x +1

− ln

x − 2

+ C .

(x +1)(x − 2)

x +1

x − 2

2) Под интегралом стоит правильная рациональная дробь.

Разлагая её на сумму простейших дробей, получим

x2 + 6

x(x

− 3)2

− 3

(x − 3)2

Приведём правую часть полученного соотношения к общему знаменателю:

x2 + 6 = A(x − 3)2 + Bx(x − 3) + Cx .

Для нахождения неопределённых коэффициентов будем

комбинировать два вышеизложенных способа.

Полагая x = 3, получим 9 + 6 = 3C

C = 5.

При x = 0 имеем 6 = 9A

A =

2 .

Для определения коэффициента

B сравним коэффициенты при

x2 в обеих частях тождества: 1 = A + B , откуда B = 1− A =

1 .

Находим искомый интеграл:

∫

(x2

+ 6)dx

∫

+ 5∫

x − 3

−

+ C .

x(x − 3)2

x − 3

(x − 3)2

x − 3

3) Представим подынтегральную функцию в виде суммы

простейших дробей.

x2 − 5x + 9

Cx + D

(x −1)

2x + 2)

x −1

−1)

2x + 2

Приводя правую часть равенства к общему знаменателю и

сравнивая числители, получаем

Д2

− 5x + 9 =

A(x

−1)(x

+ 2x + 2)

+ B(x

2x +

2) + (Cx + D)(x

−1)

Полагая x = 1, находим B :

1− 5 + 9 = B(1+ 2 + 2) B = 1.

Числа

A, C, D

найдём, пр равнивая коэффициенты при x3 , x и

свободные члены в тождестве:

ипри x A + C = 0;

при x

2B + C − 2D = −5;

при x0

− 2A + 2B + D = 9.

7 ; D =

21.

Решив полученную систему, получим A = −

;

C =

Следовательно,

∫

(x2

− 5x + 9)dx

= −

∫

+ ∫

∫

(x + 3)dx

(x −1)2 (x2 + 2x + 2)

x −

(x −1)2

x2 + 2x + 2

В последнем интеграле

x2 + 2x + 2 = 0 не имеет действительных

корней. Для его вычисления выделяем полный квадрат из квадратного трёхчлена, стоящего в знаменателе.

x2 + 2x + 2 = x2 + 2x +1−1+ 2 = (x +1)2 +1.

Источник: https://studfile.net/preview/16407772/

Смотрите также:

17. Введение 18. Линейные программы 19. Ветвления 20. Программирование циклических алгоритмов
_-___-~1
_3 тема - Диффузия
_Роджерс Карл, Брак и его альтернативы
- Описание типа СЭТ7009
- Программа ГПИ
'Заповит' Рейнгольда Глиэра: стилистические особенности
'Просвещенный абсолютизм' Екатерины II и его влияние на развитие русской культуры
'Создание и продвижение интернет - платформы реферальной системы' на примере компании Бартер–кард
«Методы учета затрат на производство продукции, работ, услуг»Курсовая работа